1) On considère une sphère de contre O et de rayon R, portant à sa surface des charges réparties avec la densité superficielle uniforme s et tournant avec la vitesse angulaire constante w autour d'un de ses diamètres z'Oz. On appellera q l'angle formé avec z'Oz par le rayon OM, où M est un point de la sphère.

     1) Montrer que le mouvement des charges dans le segment sphérique défini par les angles q et q + dq est équivalent au courant d'intensité:

dI = wsR²sinqdq

et en déduire le moment magnétique M du système, qu'on exprimera en fonction de µ₀, w , R et Q, charge totale de la sphère.

        2) Calculer l'induction magnétique créée par le système au centre de la sphère.
Rappel: L'induction magnétique créée par une spire circulaire de rayon a en un point de son axe à la distance x du centre de la spire est axiale et de mesure:

           3) En supposant également que la masse totale M de la sphère est répartie sur sa surface avec la masse spécifique superficielle uniforme d, déterminer le moment cinétique de la sphère en rotation, en fonction de w, R et M.
       4) Quelle est la valeur du rapport gyromagnétique de ce système. Qu'en pensez-vous?
       5) Calculer l'énergie cinétique du système.

1) Courant équivalent - Moment magnétique de la sphère

            Considérons sur la sphère une couronne élémentaire ds limitée par les angles Q et Q+dQ, dont la normale est parallèle à l'axe z'Oz. La charge élémentaire portée par cette surface est

dq = s ds = 2spR²sinQdQ

Tous les temps dt = (2p /w) la sphère effectue un tour complet. La charge traversant un plan fixe de normale perpendiculaire à z'Oz est alors dq. La couronne en rotation est donc équivalente à un courant élémentaire

di = dq/dt = wsR²sinQdQ

Le vecteur moment magnétique d'une spire de surface S parcourue par un courant d'intensité I est donné par la relation:

M = ISk

ou k est le vecteur unitaire selon la normale à la spire.

dans notre cas, pour chaque couronne élémentaire ds, de normale parallèle à z'Oz, de largeur dQ et de section S = p(RsinQ )², on a donc un moment magnétique:

dM = diS k = wsp R⁴sin³QdQ k

Le module du moment magnétique totale de la sphère est obtenu en intégrant sur les valeurs de Q:

M étant dirigé selon z'Oz: M = M k
La charge Q étant uniformément répartie en surface on a aussi, Q = 4pR²s, d'où

M = (QwR²/3)k

2) Induction magnétique au centre de la sphère

   Rappel: Loi de Biot Savart

r est le rayon de la spire, et R la distance entre l'élément dl de la spire et le point où on calcule le champ.

Chaque couronne élémentaire ds de la sphère étant assimilée à une spire parcourue par un courant di, est génère au centre de la sphère une induction

dB = µ₀di (RsinQ)sinQ / 2R² k = (µ₀wRs /2) sin³QdQ k

Pour obtenir l'induction on intègre sur Q. B = Bk avec B égal à

Soit en fonction de la charge totale répartie sur la sphère

B = (µ₀wQ/6pR) k

3) Moment cinétique de la sphère.

Le moment cinétique dN dû à un élément de masse dm est donné par:

dN = dm OM x V

où V est le vecteur vitesse de dm. Pour une densité de masse uniforme d sur la surface de la sphère, le moment cinétique dû à la couronne élémentaire ds est, par raison de symétrie, selon z'Oz et a pour module

dN_z = d ds OM VsinQ = 2pR⁴wd sin³QdQ

Soit pour le moment cinétique total de la sphère:

N = N_z k = (8pR⁴wd /3) k

Où en fonction de la masse totale M de la sphère

N = N_z k = (2R²wM/3) k

4) Rapport gyromagnétique de la sphère

Le rapport gyromagnétique de la sphère est défini par:

g = M / N_z = Q / 2M

5) Energie cinétique de la sphère: