1) Introduction

Considérons un guide coaxial (ou ligne coaxiale), constitué conducteur central cylindrique placé à l'intérieur d'un second cylindre conducteur, de telle sorte que les axes de ces derniers soient coaxiaux, dirigés selon Oz. Le terme cylindrique est à prendre au sens large, c'est à dire que, même si c'est généralement le cas, la section droite des conducteurs n'est pas nécessairement circulaire. Les conducteurs sont supposés parfaits, et l'espace entre ceux-ci est rempli d'un matériau linéaire, homogène et isotrope, de permittivité diélectrique e et perméabilité magnétique m réelles (ligne sans pertes). De plus, on s'intéressera ici aux ondes ayant une dépendance sinusoïdale du temps, c'est à dire de la forme

X = X(r) e^iwt

pour lesquelles on ne fera pas apparaître explicitement la dépendance temporelle en e^iwt.

2) Equations de propagation

En l'absence de charges et de courants, les champs électrique et magnétique satisfont à l'équation de Helmholtz

DE + k² E = 0                                                 
DH + k² H = 0          avec   k. k = k² = w²em

Les ondes planes, qui sont solutions en espace libre, ne peuvent être retenues car elles ne vérifieront pas les conditions aux limites sur les conducteurs. Pour trouver des solutions satisfaisantes on peut séparer les parties transversale et longitudinale de l'opérateur D en posant:

avec D_t le Laplacien dans le plan transverse (x,y) et e_z le vecteur unitaire selon Oz. L'équation de Helmholtz devient alors

Puis en séparant les parties transverse et longitudinale des équations,

D_tE + ( k² - g² ) E = 0                D_tH + ( k² - g² ) H = 0
                                 

Les champs électrique et magnétique se propageant dans le sens des z croissants, solutions de ces équations différentielles, sont de la forme

E = E (x, y) e^-igz              H = H (x, y) e^-igz

g est la constante de propagation de l'onde. Pour que les solutions précédentes des champs correspondent à une propagation sans atténuation dans le guide il faut que la constante de propagation g soit réelle.

3) Mode Transverse ElectroMagnétique (TEM)

Contrairement à ce qui se passe dans un guide d'onde, dans une ligne coaxiale, la propagation du mode TEM (Transverse Electro-Magnétique) est possible. Nous allons donc nous intéresser pour commencer à ce mode essentiel dans l'étude de la ligne coaxiale. Il est caractérisé par des composantes longitudinales de champs nulles. Dans le cas d'une propagation selon l'axe Oz,

E_z = E (x, y) . e_z = 0
H_z = H (x, y) . e_z = 0

C'est à dire que les champs E (x, y) et H (x, y) sont tous deux dans le plan transverse Oxy. Si on reporte ces champs dans les équations de Maxwell, en l'absence de courants et de charges, on obtient

rot E = - iwm H                 rot H = iwe E

rot [ E (x, y) e^-igz ] = e^-igz rot E (x, y) - ig e^-igz e_z x E (x, y) = - iwµ H (x, y) e^-igz
rot [ H (x, y) e^-igz ] = e^-igz rot H (x, y) - ig e^-igz e_z x H (x, y) = iwe E (x, y) e^-igz

{ V fonction scalaire et A vecteur: rot ( VA ) = V rot A + grad V x A }

rot E (x, y) - ig e_z x E (x, y) = - iwµ H (x, y)
rot H (x, y) - ig e_z x H (x, y) = iwe E (x, y)

Soit en projetant sur la direction de propagation et sur le plan transverse Oxy

rot E (x, y) = 0                            g e_z x E (x, y) = wµ H (x, y)
rot H (x, y) = 0                            g e_z x H (x, y) = - we E (x, y)

Il apparaît alors à partir des secondes relations que

g e_z x H (x, y) = g e_z x [ (g / wµ) e_z x E (x, y) ] = ( g²/wµ)[ (e_z . E (x, y))e_z - (e_z . e_z ) E (x, y)]
= - (g²/wµ) E (x, y) = - w²eµ E (x, y)

{ A x ( A' x A'') = (A . A'') A' - ( A . A' ) A'' }

d'où, dans le cas d'un guide sans pertes (e et µ réelles)

g² = w²eµ = k²
g = k

k étant le module du vecteur d'onde, et

k e_z x E (x, y) = wµ H (x, y)
k e_z x H (x, y) = - we E (x, y)

Ces résultats sont d'une grande importance, puisqu'ils mettent en évidence les relations entre les champs électrique et magnétique d'une onde TEM qui a localement une structure d'onde plane. Mais aussi que le mode TEM peut se propager quelque soit sa fréquence, puisque sa fréquence de coupure est nulle (k_c² = k² - g² ). Il s'agit donc du mode fondamental. Les modes TE et TM peuvent aussi se propager dans ce type de ligne mais on travaille généralement à des fréquences inférieures leur fréquence de coupure de façon à ne conserver que le mode TEM.