1) CHAMPS, INDUCTIONS ET POTENTIELS MAGNETIQUES

1. 1 Introduction

De façon générale, un courant est caractérisé par son vecteur densité de courant j(M). On appelle ligne de courant toute ligne tangente, en chacun de ses points, au vecteur j(M). Et on désigne par tube de courant la surface formée par l'ensemble des lignes de courant s'appuyant sur un contour fermé. Si ce contour limite une surface élémentaire dS, ce tube de courant est dit élémentaire. Enfin, on appelle courant filiforme un courant unidimensionnel, c'est à dire circulant dans un tube élémentaire de courant. Dans la pratique il s'agit, par exemple, d'un courant qui parcourt un fil conducteur cylindrique dont le diamètre est très petit devant la longueur.

1. 2 Potentiel vecteur magnétique créé par un courant filiforme

Considérons un segment de tube de courant élémentaire parcouru par un courant de densité
j(M) et délimité par le déplacement dM et la section dS = n(M)dS, tel que n(M) soit unitaire et orienté dans le même sens que j(M).

L'intensité i du courant dans ce tube de courant est par définition

i = j(M). n(M)dS

Les vecteurs dM, n(M) et j(M) étant colinéaires en tout point M, on peut écrire

i dM = j(M). n(M)dS dM =  j(M) dM. n(M)dS
= j(M) dn

Le potentiel vecteur magnétique dû au segment élémentaire considéré, en un point P extérieur au tube est alors

L étant le parcours décrit par le tube de courant, le potentiel vecteur magnétique créé par l'ensemble du tube est

1. 3 Induction magnétique créée par un courant filiforme - Loi de Biot et Savart

Le raisonnement est similaire au précédent. Considérons donc le même segment de tube de courant élémentaire parcouru par un courant de densité j(M) et délimité par le déplacement dM et la section dS = n(M)dS, tel que n(M) soit unitaire et orienté dans le même sens que j(M). Les vecteurs dM, n(M) et j(M) étant colinéaires en tout point M, le courant dans le tube de courant est tel que

i dM = j(M) dn

(cf. § 1.2 )

D'après l'expression générale de la loi de Biot et Savart l'induction magnétique due au segment élémentaire considéré en un point P tel que MP = r u, avec u = MP/ ||MP||, vecteur unitaire selon MP, est alors

et l'induction magnétique totale créée par un tube de courant s'étendant sur un parcours L s'exprime par

1. 4 Fil rectiligne infini de section circulaire

Soit un fil rectiligne de section circulaire et de longueur infinie, parcouru par un courant permanent d'intensité i et caractérisé par un vecteur densité de courant uniforme j = jk. Choisissons un repère cylindrique normé (O, u_r, u_q, k) centré sur l'axe du fil et tel que le vecteur k soit parallèle à ce dernier.

Le système est invariant par translation selon la direction de k et présente une symétrie de révolution autour de l'axe. En tout point P de l'espace, les champs et les potentiels ne peuvent donc dépendre que de la composante radiale r.

Appliquons le théorème d'Ampère à un parcours circulaire C de rayon  r = ||OP|| centré sur O:

2prB(r) = m₀i_i

où i_i est le courant traversant le parcours C et B(r) est le module de l'induction magnétique.

B(P) = B(r) u_q

L'orientation de B(P) est donnée par les règles dites du "tire bouchon" ou de "l'observateur d'Ampère".

R désignant le rayon du fil, deux cas sont à envisager:

   - r > R

La totalité du courant circulant dans le fil traverse C.

i_i = i         2prB(r) = m₀i

L'induction et le champ magnétiques à une distance r (r > R) de l'axe du fil s'expriment par

{B(P) = m₀H(P)}

   - r < R

La densité de courant étant supposée uniforme dans le fil, le parcours C est traversé par le courant

i_i = i (pr²/pR² ) = i (r²/ R² )

et on a

2prB(r) = m₀i (r²/ R² )

L'induction et le champ magnétiques à une distance r (r < R) de l'axe du fil s'expriment par

{B(P) = m₀H(P)}

Remarque: Lorsque le rayon du fil tend vers zéro, la première relation, obtenue pour r > R, est valable pour tout point P ne se trouvant pas sur le fil. L'induction n'est pas définie sur l'axe (en r = 0). La seconde n'a bien sûr plus de sens.

On a noté précédemment que, par raison de symétrie, les champs et les potentiels ne peuvent dépendre que de la composante radiale r. Comme de plus la densité de courant j est en tout point du fil parallèle à k, on cherche un potentiel vecteur de la forme

A(P) = A(r) k

Il est lié à l'induction par la relation

B(P) = rot A(P)

B(P) étant selon u_q et ne dépendant que de la composante radiale r, cette relation s'écrit

(cf. Analyse vectorielle > Coordonnées cylindriques )

En remplaçant B(P) par son expression dans les deux cas précédents on obtient:

B est une constante.

Le potentiel vecteur doit être continu pour r = R. Cette condition est assurée en prenant

A = R    et      B = m₀i / 4p

Les expressions de A(P) sont alors

   - Pour r > R

   - Pour r < R

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