1) RELATIONS FONDAMENTALES

1. 1 Introduction

Les équations de Maxwell dans le vide pour un champ électromagnétique quelconque sont présentées dans la rubrique Electrostatique. Dans le cas d'un champ indépendant du temps, en un point M de l'espace, elles s'écrivent:

div e₀E(M) = r(M)
rot E(M) = 0

div B(M) = 0
rot [B(M) /m₀ ] = j(M)

E(M) et B(M) sont respectivement les vecteurs champ électrique et induction magnétique,
r(M) la densité volumique de charges et j(M) le vecteur densité de courant. Ajoutons à ces relations, celle qui définie le champ magnétique dans le vide

B(M) = m₀H(M).

Remarque: Comme nous l'avons signalé dans la rubrique Electrostatique, on désigne parfois par vecteur champ magnétique, le vecteur induction magnétique B(M). Le vecteur H(M) est alors appelé vecteur excitation magnétique.

1. 2 Théorème d'Ampère

Considérons une surface S s'appuyant sur le parcours fermé orienté L. dl étant le déplacement élémentaire du point P sur L et n(M) le vecteur unitaire normal à S en tout point M de S, orientons n(M) de telle sorte que dl et n(M) constitue une orientation directe de l'espace. Compte tenu du théorème de Stokes, en intégrant sur S la quatrième équation de Maxwell, on obtient

Par définition, i est l'intensité du courant à travers la surface S.

La densité volumique de charges étant indépendante du temps, l'équation de conservation de la charge électrique,

se simplifie en

div j(M) = 0

Le courant j(M) est donc à flux conservatif et il dérive d'un potentiel vecteur. Le courant i est alors indépendant de la surface S choisie, il ne dépend que du parcours L.

Par conséquent, en régime permanent, le théorème d'Ampère s'énoncera par:

La circulation du vecteur B(P) /m₀ sur un parcours fermé L est égale à l'intensité du courant traversant L.

.

1. 3 Potentiel vecteur

L'équation de Maxwell vérifiée par l'induction magnétique

div B(M) = 0

montre que B(M) est un champ de vecteurs à flux conservatif et qu'il dérive d'un potentiel vecteur A(M)

B(M) = rot A(M).

Si on calcule le rotationnel de la relation précédente, on obtient

rot B(M) = rot [rot A(M)] = grad [div A(M)] - DA(M)

(cf. Analyse Vectorielle > Relations différentielles)

A l'aide de la quatième relation de Maxwell, l'équation ci-dessus donne

rot B(M) = rot [rot A(M)]= grad [div A(M)] - DA(M) = m₀ j(M)

Il faut se rappeler que, U(M) étant une fonction scalaire continue,

rot [grad U(M)] = 0

et que donc la relation B(M) = rot A(M), ne définit le potentiel vecteur A(M) qu'à un gradient près. Pour lever cette indétermination, on peut imposer au champ de vecteurs A(M) de dériver lui même d'un potentiel vecteur. Il vérifie alors la relation

div A(M) = 0,

et on a la relation

DA(M) = - m₀ j(M).

appelée équation de Poisson vectorielle.

Cette relation étant analogue à l'équation de Poisson obtenue en électrostatique, on peut adopter pour le potentiel vecteur magnétique A(M) la même forme générale de solution. Par conséquent, le potentiel vecteur magnétique A(P) créé en un point P de l'espace par une distribution volumique continue de courants j(M) distribuée dans  le volume V s'exprime par

où dn est le volume élémentaire entourant le point M.

1. 4 Induction magnétique - Loi de Biot et Savart

L'induction magnétique B(P) dérive du potentiel vecteur A(P), on obtient son expression en calculant le rotationnel de l'expression précédente, soit

L'indice p de l'opérateur rotationnel indique que les dérivées sont calculées par rapport aux coordonnées du point P.

Posons ||MP|| = r et u = MP/ ||MP||, vecteur unitaire selon MP. Pour une fonction scalaire U(M) et une fonction vectorielle A(M), on a

rot [U(M)A(M)] = U(M) rot A(M) + grad U(M) x A(M)

(cf. Analyse Vectorielle > Relations différentielles)

d'où

Sachant que

grad_P (1/r) = - (1/r² ) u

et en remarquant que, j(M) étant indépendant de P, on a

rot_P j(M) = 0

on obtient

B(P) = rot_p A(P) = rot A(P)

L'indice p n'est plus nécessaire puisque le potentiel vecteur A(P) ne dépend que du point P. Et on a finalement la relation

qui est connue sous le nom de loi de Biot et Savart.

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