2) ENERGIE ELECTROSTATIQUE (suite)

On peut généraliser ce qui précède (cf. Energie électrostatique) en définissant l'énergie électrostatique propre d'une distribution de charges, en l'absence de champ électrique extérieur. Cette énergie est égale au travail fournit par les forces électrostatiques qui existent entre les charges au cours du déplacement réversible de leur position initiale dans la distribution jusqu'à les amener à des distances infinies les unes des autres.

2. 5 Système de deux charges ponctuelles

Considérons un système formé de deux charges ponctuelles q₁ et q₂, placées respectivement aux points M₁ et M₂. La charge q₂ est plongée dans le champ électrique dû à la charge q₁. En notant V₁(M₂ ) le potentiel créé par la charge q₁ au point M₂, l'énergie électrostatique du système s'exprime donc par

W = q₂V₁(M₂ )

(cf. Charge ponctuelle isolée dans un champ électrique)

On peut bien sûr inverser le raisonnement, en disant que la charge q₁ est plongée dans le champ électrique dû à la charge q₂. V₂(M₁ ) étant le potentiel créé par la charge q₂ au point M₁, l'expression de l'énergie électrostatique est alors

W = q₁V₂(M₁ )

L'expression du potentiel d'une charge ponctuelle isolée montre que dans les deux cas on obtient la même énergie électrostatique

qui peut encore s'écrire sous la forme

W = (1/ 2) [q₁V₂(M₁ ) + q₂V₁(M₂ )]

2. 6 Distribution discrète de charges ponctuelles

Dans le cas d'une distribution discontinue de N charges ponctuelles, on peut généraliser le raisonnement précédent, en écrivant que la charge q_i, située en M_i, est plongée dans le champ créé au point M_i par toutes les autres charges. Si V_j(M_i ) est le potentiel induit en M_i par la charges q_j (j ¹ i), l'énergie électrostatique de la distribution s'écrit

ou plus simplement

avec

V(M_i ) représente le potentiel induit au point M_i par l'ensemble des charges q_j (j ¹ i).

2. 7 Distributions continues de charges ponctuelles

Le raisonnement du paragraphe ci-dessus s'applique aussi à une distribution continue de charges électriques, en remplaçant la sommation discontinue par une intégrale. V(M) désignant le potentiel électrique induit par les charges de la distribution au point M, on obtient:

      - pour une distribution volumique de charges répartie dans un volume V et caractérisée par la densité volumique r (M), l'énergie électrostatique

où dn est l'élément de volume entourant le point M de V.

      - pour une distribution surfacique charges répartie sur une surface S et caractérisée par la densité volumique s (M), l'énergie électrostatique

où dS est l'élément de surface entourant le point M de S.

Remarque: Le potentiel V(M) étant continu à la traversée de la surface S, l'intégrale est bien convergente.

2. 8 Localisation de l'énergie électrostatique

Dans l'espace E, considérons une surface sphérique S suffisamment grande pour qu'elle contienne toutes les charges du système à étudier et appelons V le volume qu'elle délimite. D'après le paragraphe précédent, l'énergie électrostatique d'une distribution volumique de charges de densité r (M), répartie dans un volume V, est donnée par

où V(M) est le potentiel électrique induit par les charges de la distribution au point M.

Remarque: En dehors de la partie de l'espace où sont distribuées les charges, la densité volumique r (M) est nulle. Par conséquent, S et V peuvent être étendus autant que nécessaire sans modifier la valeur de W.

La troisième équation de Maxwell, pour un champ électrique indépendant du temps

div e₀E(M) = r(M)

permet d'écrire

En utilisant l'identité vectorielle

div [V(M)E(M)] = V(M) div E(M) + E(M). grad V(M)

(cf. Analyse vectorielle > Relations utiles)

et compte tenu de la relation E(M) = - grad V(M), on obtient

div V(M)E(M)] = V(M) div E(M) - E(M). E(M)

et

D'après le théorème d'Ostrogradski, S étant la surface qui limite le volume V, l'énergie électrostatique s'exprime donc par

où n(P)est le vecteur unitaire normal à S au point P de S.

On a remarqué que si on fait tendre le rayon R de la sphère vers l'infini, de façon à l'étendre à tout l'espace E, l'expression ci-dessus reste valable. Si tel est le cas, le produit sous le premier signe intégrale varie en dR /R et cette première intégrale tend vers zéro.

On peut donc écrire que l'énergie électrostatique de la distribution de charges est

Tout se passe comme si on avait une densité volumique d'énergie électrostatique

w(M) = (e₀ / 2) E²(M)

répartie sur tout l'espace E, avec