3) Soit une sphère S de centre O, de rayon R, portant une charge Q répartie sur sa surface avec une densité uniforme s.
        1) Déterminer le potentiel et le champ électriques en tout point de l'espace
        2) Retrouver le résultat en utilisant le théorème de Gauss.

1) Potentiel en tout point

Le système doit satisfaire à l'équation de Laplace en tout point ne contenant pas de charges.

DV = 0

En coordonnées sphériques le Laplacien s'écrit:

Le système étant de symétrie sphérique on peut écrire:

A l'extérieur de la sphère:

A l'intérieur de la sphère:

A_e, A_i, B_e, B_i étant des constantes.

Détermination des constantes

Le potentiel électrique doit tendre vers zéro en l'infini et doit être fini en tout point, d'où

B_e = 0   et   A_i = 0

Il doit aussi être continu en tout point, d'où

V_e ( r = R ) = V_i ( r = R )

soit

B_i = - A_e / R

Le champ électrique E s'exprime par:

E = - grad V = - ( dV / dr ) u_r

u_r étant le vecteur unitaire radial.

d'où

E_e = - ( A_e / r² ) u_r
E_i = 0

Sur l'interface la composante normale du champ électrique doit satisfaire à la condition,

E_ne - E_ni = - A_e / R² = s / e₀

où s est la densité surfacique de charges. La charge étant uniformément répartie, si Q est la charge totale de la sphère,

s = Q / 4pR²

d'où

E_e = Q / 4pe₀r² u_r                 E_i = 0
V_e = Q / 4pe₀r                  V_i = Q / 4pe₀R

2) Résolution par le théorème de Gauss

Pour respecter la symétrie on choisit une surface de Gauss sphérique centrée sur O. Le théorème de Gauss s'exprime par:

E est le champ électrique, S la surface de Gauss et Q_int la charge contenue dans cette surface. Par raison de symétrie le champ est radial et ne dépend que de r.

A l'extérieur de la sphère:

On choisit une sphère de Gauss de rayon r > R. Toute la charge est contenue dans la surface de Gauss donc:

E_e = - grad V_e = - ( dV_e / dr ) u_r

d'où en prenant le potentiel V_e nul à l'infini

E_e = Q / 4pe₀r² u_r
V_e = Q / 4pe₀r

A l'intérieur de la sphère:

On choisit une sphère de Gauss de rayon r < R. La charge étant répartie sur la surface, la charge à l'intérieur de la sphère de Gauss est nulle. Le théorème de Gauss s'écrit donc:

E_i = - grad V_i = - ( dV_i / dr ) u_r

d'où

E_i = 0
V_i = cst

Le potentiel doit être continu en r = R donc:

V_i = V_e ( r = R ) = Q / 4pe₀R