3) ENERGIE ELECTROSTATIQUE

3. 1 Dipôle électrique ponctuel dans un champ électrique

Considérons un dipôle électrique ponctuel constitué de deux charges -q et +q respectivement positionnées en M et M+dM et de moment dipolaire

p = qdM i = q dM

avec         dM = dM i

i étant le vecteur unitaire sur la direction joignant les deux charges, dirigé de la charge -q vers la charge +q.

Le dipôle est placé dans un champ E(M) dérivant du potentiel scalaire V(M). La relation établie pour une distribution discrète de charges ponctuelles dans un champ électrique nous permet d'écrire que l'énergie électrostatique du dipôle dans le champ E(M) est

W = qV(M+dM) - qV(M) = q [V(M+dM) - V(M)]
= q grad V(M). dM = p. grad V(M)

Comme E(M) dérive du potentiel scalaire V(M)

E(M) = - grad V(M),

on obtient pour expression de l'énergie d'un dipôle électrique de moment dipolaire p, placé au point M dans un champ électrique E(M):

W = - p. E(M).

3. 2 Distribution volumique de dipôles électriques ponctuels dans un champ électrique

Considérons une distribution volumique de dipôles électriques ponctuels répartie dans un volume V de l'espace et caractérisée, en tout point M de V, par sa densité volumique de moment dipolaire P(M). Le moment dipolaire dp de l'élément de volume dn entourant M est donné par

dp = P(M)dn

D'après la relation établie au paragraphe précédent, placé dans un champ électrique E(M), l'élément de volume dn acquiert une énergie électrostatique

dw(M) = - dp. E(M) = - P(M). E(M)dn

L'énergie de l'ensemble de la distribution est donc

Une autre approche possible pour le calcul de cette énergie électrostatique consiste à utiliser les distributions de charges équivalentes. La distribution volumique de dipôles électriques est équivalente à la superposition d'une distribution volumique de charges dans V et d'une distribution surfacique de charges sur S de densités respectives

s (M) = P(M). n(M)      et       r(M) = div P(M) = - div P(M)

A partir des expressions établies dans ces deux cas, on peut écrire l'énergie électrostatique de la distribution volumique de dipôles sous la forme

3. 3 Système de deux dipôles électriques ponctuels

Deux dipôles électriques ponctuels de moments dipolaires p₁ et p₂ sont placés en des points O₁ et O₂ de l'espace, dans une région ou ne règne aucun champ électrique extérieur. Notons E₁(M), le champ électrique créé en un point M par le dipôle p₁ et respectivement q₁ et q₂, les angles que font les moments dipolaires p₁ et p₂ avec l'axe O₁O₂.

Le dipôle p₂ est soumis au champ E₁(O₂ ) dû à p₁, qui a pour expression

E(O₂ ) = (1/ 4pe₀r⁵ ) [3( p₁. r)r - r² p₁ ]

où r = r u_r = O₁O₂, p₁ = p₁cos q₁u_r + p₁sin q₁u_q et (u_q, u_r, u_q ) sont les vecteurs normés indiqués sur la figure ci-dessus.
(cf. Champ et potentiel électriques d'un dipôle ponctuel )

D'après la relation établie au paragraphe 3.1, l'énergie électrostatique du système s'écrit

W = - p₂. E₁(O₂ ) = (1/ 4pe₀r⁵ ) [r²( p₁. p₂ ) - 3( p₁. r)( r. p₂ )]

La relation étant symétrique en p₁ et p₂, l'hypothèse de calcul inverse ( le dipôle p₁ soumis au champ électrique E₂(O₁ ) créé par p₂ ), conduit au même résultat:

W = - p₂. E₁(O₂ ) = - p₁. E₂(O₁ )

Pour symétriser la relation on écrit

W = - (1/ 2) [ p₂. E₁(O₂ ) + p₁. E₂(O₁ )]

3. 4 Distribution discrète de dipôles électriques ponctuels

Pour obtenir l'énergie électrostatique d'une distribution discrète de N dipôles électriques ponctuels, en l'absence de champ électrique extérieur, on généralise le raisonnement précédent en exprimant que le dipôle p_i situé au point M_i de l'espace, est soumis au champ électrique créé en ce point par l'ensemble des autres dipôles de la distribution. Si on note E_j(O_i ) le champ créé par le dipôle p_j (j ¹ i) au point M_i, l'énergie électrostatique de la distribution sera

En écrivant le champ E(M_i ) créé en M_i par tous les dipôles p_j (j ¹ i) sous la forme

on obtient

3. 5 Distribution volumique de dipôles électriques ponctuels

Dans le vide, considérons une distribution volumique continue de dipôles électriques ponctuels, confinée dans un volume V et caractérisée par sa densité volumique de moment dipolaire P(M). Par passage à la limite du raisonnement suivi au cours du paragraphe précédent, on peut écrire que l'énergie électrostatique d'une telle distribution s'écrit

où dn est l'élément de volume entourant le point M et E(M) le champ créé au point M par la distribution de dipôles elle même.

La distribution volumique de dipôles est équivalente à la superposition de deux distributions de charges ponctuelles:
                       - une distribution volumique de densité r(M) = - div P(M), répartie dans le volume V;
                       - une distribution surfacique de densité s(M) = P(M). n(M), répartie sur la surface S délimitant le volume V.
(cf. Distributions de charges équivalentes)

En notant V(M) le potentiel scalaire, ( E(M) = - grad V(M) ), on peut donc aussi écrire l'énergie électrostatique de la distribution de dipôles sous la forme:

3. 6 Localisation de l'énergie électrostatique

Dans l'espace E, considérons une surface sphérique S suffisamment grande pour qu'elle contienne tous les dipôles électriques du système et appelons V le volume qu'elle délimite. On peut écrire sa densité volumique de moment dipolaire P(M) sous la forme

P(M) = D(M) - e₀E(M)

D(M) et E(M) sont respectivement l'induction électrique et le champ électrique à l'intérieur du volume V.

En substituant cette expression de P(M) dans la relation établie au paragraphe précédent, l'énergie électrostatique de la distribution de dipôles s'exprime par

Soit V(M) le potentiel scalaire, en l'absence de charges conduction on a

E(M) = - grad V(M)         et         div D(M) = 0

(cf. Distribution volumique de dipôles ponctuels > Induction électrique ).

On en déduit que

D(M). E(M) = - D(M). grad V(M) = - div [V(M)D(M)] + V(M)div D(M)
= - div [V(M)D(M)]

{div [U(M)A(M)] = U(M) div A(M) + A(M). grad U(M)}
(cf. Analyse vectorielle > Relations utiles)

D'après le théorème d'Ostrogradski, la première intégrale de l'expression précédente s'exprime donc par

où n(P) est le vecteur unitaire normal à S au point P de S. On obtient comme expression de l'énergie électrostatique

En dehors de la partie de l'espace où se trouvent les dipôles, la densité volumique P(M) est nulle. Par conséquent, S et V peuvent être étendus autant que nécessaire sans modifier la valeur de W. Si on fait tendre le rayon R de la sphère S vers l'infini, de façon à couvrir tout l'espace E, le produit dans la première intégrale varie en 1/ R et cette première intégrale tend vers zéro.

On peut donc écrire que l'énergie électrostatique de la distribution de volumique de dipôles électriques est donnée par

On retrouve la relation établie pour une distribution continue de charges.