1) DIPÔLE ELECTRIQUE PONCTUEL ISOLE

1. 1 Définition

On appelle dipôle électrique ou doublet électrique, un ensemble de deux charges ponctuelles q et - q, de même valeur et de signes opposés, séparées par une distance fixe d. On définit alors le moment dipolaire par:

p = qd i

où i est le vecteur normé porté par la droite joignant les points de l'espace où sont localisés les deux charges, dirigé de la charge négative vers la charge positive.
Supposons que les charges q et - q augmentent indéfiniment à mesure que la distance d entre elles diminue, de façon à maintenir le produit qd constant. A la limite, on obtient une source ponctuelle du champ appelée dipôle électrique ponctuel.
En toute rigueur, un dipôle ponctuel ne peut exister. Cependant, lorsque dans un système de charges (molécule, atome, ...) les barycentres des charges positives et négatives ne coïncident pas, on obtient un dipôle de dimension finie mais faible devant la distance entre le centre du dipôle et le point où va se faire la mesure et l'étude des champs. On se trouve alors dans le cadre de l'approximation dipolaire.

1. 2 Champ et potentiel électriques

Considérons un dipôle électrique fini constitué de deux charges -q et +q, placées respectivement aux points A et B, un repère sphérique normé (O, u_r, u_q, u_j ) tel que O soit le centre du segment [AB] et un point M(r, q, j ) de l'espace. On pose

OM = r = r u_r   i = AB / ||AB||
et       ||OA|| = ||OB|| = a

On se place dans le cadre de l'approximation dipolaire, c'est à dire que

r = ||OM|| >> 2a = ||AB||

D'après ce que nous connaissons sur les distributions discrètes de charges, le potentiel créé en M par le dipôle est

En appelant q l'angle entre OB et OM, on peut écrire

1/ ||AM|| = [a² + r² + 2ar cos q ]^-1/2 » (1/ r)[1 + (a / r)² - a cos q / r]
1/ ||BM|| = [a² + r² - 2ar cos q ]^-1/2 » (1/ r)[1 + (a / r)² + a cos q / r]

Par hypothèse, r est grand devant 2a, et au second ordre près on a

1/ ||AM|| » (1/ r² )[1 - a cos q ]
1/ ||BM|| » (1/ r² )[1 + a cos q ]

Par substitution dans l'expression du potentiel, on obtient

où p = p i = 2aq i est le moment dipolaire du système constitué par les deux charges.

Par dérivation on en déduit le champ électrique dû au dipôle électrique

Le champ électrique est contenu dans le plan défini par les vecteurs OM et AB.

On peut remarquer que le potentiel et le champ électriques s'expriment aussi respectivement par

avec r = r u_r et p = pcos q u_r + psin q u_q

Remarque: On notera que dans les expressions ci-dessus, les dérivées qui interviennent dans le gradient sont prises par rapport aux coordonnées du point M, où on calcule le potentiel.

2) DISTRIBUTION VOLUMIQUE DE DIPÔLES ELECTRIQUES PONCTUELS

Dans le vide, considérons un volume V, limité par la surface fermée S, contenant un nombre de dipôles électriques ponctuels par unité de volume suffisamment important pour que le système soit assimilable à une distribution volumique continue de dipôles. Pour décrire ce système, en chaque point M de la distribution, on définit la densité volumique de moment dipolaire P(M), telle que le volume élémentaire dn entourant le point M soit équivalent à un dipôle électrique ponctuel de moment

dp(M) = P(M)dn.

La densité P(M) est une grandeur vectorielle, contrairement à la densité r(M) définie dans le cas des distributions continues de charges.

2. 1 Distributions de charges équivalentes

D'après les résultats précédents, on peut écrire qu'en un point P de l'espace, éloigné de toutes les charges, le potentiel V(P) dû à cette distribution de dipôles électriques est donné par la relation

où l'indice "P" du gradient indique que les dérivées sont calculées par rapport aux coordonnées du point P.

A ce stade, il est plus judicieux de calculer les dérivées par rapport aux coordonnées de M, où se trouve le dipôle élémentaire. On sait que

grad_P (1/ ||MP|| ) = - grad_M (1/ ||MP|| )

et que U(M) étant une fonction scalaire et A(M) une fonction vectorielle, on a la relation

div [U(M)A(M)] = U(M) div A(M) + A(M). grad U(M)

(cf. Analyse vectorielle > Relations utiles)

Pour les fonctions

U(M) = 1/ ||MP||      et       A(M) = P(M)

on a donc

div_M [ P(M) / ||MP|| ] = (1/ ||MP|| )div_M [ P(M)] + P(M). grad_M (1/ ||MP|| )

et

Le théorème d'Ostrogradski permet de transformer la première intégrale de l'expression en intégrale de surface:

n(M) est le vecteur unitaire normal en M à la surface S qui délimite le volume occupé par la distribution de dipôles.

Au final, le potentiel créé par la distribution volumique continue de dipôles électriques peut s'écrire:

avec

s(M) = P(M). n(M)      et       r(M) = - div_M P(M) = - div P(M)

L'indice "M"de la divergence n'est plus nécessaire puisque toutes les grandeurs ne dépendant que du point M, où se trouvent les dipôles, il n'y a pas d'ambiguité.

Il apparaît donc que le potentiel électrique d'une distribution volumique continue de dipôles électriques, répartie dans le volume V délimité par la surface S, est le même que celui dû à une distribution surfacique, de densité s(M) et une distribution volumique, de densité r(M), de charges fictives respectivement réparties sur S et dans V.

Remarque: r(M) et s(M) sont des densités de charges fictives, encore appelées, charges de polarisation, qui ne peuvent être à l'origine d'un courant électrique.

2. 2 Propriétés du champ et du potentiel électriques

Connaissant les propriétés des potentiels et champs électriques crééent par les distributions de charges, ont peut alors en déduire celles du potentiel et du champ dû à une distribution volumique de dipôles électriques ponctuels.

En tout point M de l'espace, et en l'absence de charges de conduction, le potentiel doit satisfaire à l'équation de Poisson, soit

DV(M) = - r(M) /e₀ = (1/e₀ ) div P(M)

Le champ électrique E(M) s'obtient à partir de la relation

E(M) = - grad V(M)

et doit vérifier la relation

div e₀E(M) = r(M) = - div P(M)

(cf. Equations de Maxwell dans le vide)

M étant un point situé sur la surface S, limitant la distribution de dipôles, appelons E_e(M) et E_i(M) les valeurs limites respectives des champs électriques extérieur et intérieur en M. D'après les conditions de passages à la limite entre deux milieux établies pour des distributions de charges électriques, n(M) désignant le vecteur unitaire normal à S au point M, on a

[E_e(M) - E_i(M)] . n(M) = s(M) /e₀
= P(M). n(M) /e₀
[E_e(M) - E_i(M)] x n(M) = 0

2. 3 Induction électrique

Dans le cas d'une distribution de dipôles électriques, en chaque point M, on définit le vecteur induction électrique D(M) par la relation

D(M) = e₀E(M) + P(M)

Le vide ne contenant pas de dipôles, la polarisation y est nulle:

P(M) = 0

On retrouve l'expression de l'induction électrique du vide:

D(M) = e₀E(M)

Des relations établies ci-dessus pour le champ électrique E(M) on déduit, qu'en tout point M, l'induction électrique vérifie la relation

div D(M) = div [e₀E(M) + P(M)]= div e₀E(M) + div P(M)
= - div P(M) + div P(M) = 0

div D(M) = 0

Considérons maintenant un point M de la surface S. Appelons D_i(M) et D_e(M), les valeurs limites respectives en M de l'induction à l'extérieur et à l'intérieur de la distribution de dipôles.

D_e(M) = e₀E_e(M)          D_i(M) = e₀E_i(M) + P(M)

n(M) désignant le vecteur unitaire normal à S au point M, d'après la relation établie au paragraphe précédent, on a

[ e₀E_e(M) - e₀E_i(M) + P(M)] . n(M)
= [ D_e(M) - D_i(M)] . n(M) = 0

A la limite entre la distribution de dipôles électriques et le vide, la composante normale de l'induction est conservée.

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