1) DIPÔLE MAGNETIQUE PONCTUEL ISOLE

1. 1 Potentiel vecteur et moment dipolaire magnétiques

Considérons un circuit fermé filiforme C parcouru par un courant permanent d'intensité i et un point O, proche de C, choisi comme origine des coordonnées. M étant un point du circuit C et dM son déplacement élémentaire sur C, le potentiel vecteur magnétique créé par un courant filiforme créé en un P extérieur au circuit est

On peut écrire

1/ ||MP|| = ||OP - OM||^-1 = [(OP - OM² ]^-1/2

= (OP² - 2OP. OM + OM² )^-1/2

Supposons que le point P soit suffisamment éloigné du circuit C pour nous placer dans le cadre de l'approximation dipolaire, c'est à dire que ||OP|| >> ||OM||. On a alors

En introduisant cette expression dans celle du potentiel vecteur, on obtient

Le parcours C étant par hypothèse fermé, la première intégrale est nulle. En posant ||OP|| = r, il reste donc:

Pour déterminer A(P), introduisons un vecteur unitaire quelconque u et calculons le produit scalaire

Soit S une surface s'appuyant sur le circuit fermé C et contenant le point P. Si on appelle n(P) le vecteur unitaire normal à S au point P, orienté de sorte que le déplacement élémentaire dM sur C et n(P) forme un repère direct, le théorème de Stokes permet d'écrire

dS est l'élément de surface entourant le point P de S et l'indice M du rotationnel indique que les dérivées calculées par rapport aux coordonnées du point M.

On a

rot_M[(OP. OM)u] = (OP. OM) rot_Mu + grad_M(OP. OM) x u

(cf. Analyse Vectorielle > Relations différentielles)

Le vecteur u est constant, on a donc

rot_Mu = 0      et       grad_M(OP. OM) = OP

et l'intégrale précédente s'exprime par

soit

avec

Le vecteur unitaire u a été arbitrairement choisi et la relation ci-dessus doit être vérifiée quelque soit ce dernier. Ceci qui implique nécessairement

La seule contrainte imposée à la surface S est de s'appuyer sur C. Le vecteur m est donc une grandeur liée uniquement au circuit filiforme et au courant qui y circule. m est appelé moment dipolaire magnétique du circuit C parcouru par le courant i.

Si on fait tendre, quel que soit le point M de C, la norme ||OM|| vers zéro tout en augmentant le courant i de telle sorte que le moment magnétique m reste constant, à la limite, on obtient un dipôle magnétique ponctuel, encore appelé tourbillon élémentaire, de moment magnétique m.

Introduisons maintenant dans le calcul le vecteur position r et le vecteur unitaire u_r selon OP

OP = r = r u_r

On obtient pour le potentiel vecteur magnétique A(P) du circuit, les expressions suivantes

On peut remarquer que A(P) peut aussi s'écrire

ou encore en tenant compte des propriétés

rot [(1/r)m] = (1/r) rot m + grad (1/r) x m       et      rot m = 0

(cf. Analyse Vectorielle > Relations différentielles)

soit

rot [(1/r)m] = grad (1/r) x m = - m x grad (1/r)

sous la forme

Remarque: On notera que dans les expressions ci-dessus, les dérivées qui interviennent dans le gradient et le rotationnel sont prises par rapport au coordonnées du point P, où on calcule le potentiel vecteur.

1. 2 Induction et champ magnétiques

L'induction magnétique B(P) générée par un dipôle de moment magnétique m dérive de son potentiel vecteur A(P), soit

où r = ||OP|| et D est l'opérateur laplacien vectoriel.

Le moment magnétique m ne dépend pas des coordonnées de P. Les dérivées étant prise par rapport aux coordonnées de P, on a

D(m /r) = m D(1/r) = 0

On en déduit les expressions de l'induction magnétique B(P) et du champ magnétique H(P) créés en P par le dipôle magnétique m

{B(P) = m₀H(P)}

En introduisant le vecteur position r selon OP

OP = r et r = ||OP||

et en utilisant les propriétés

div (m /r) = (1/r) div m + m. grad (1/r) = m. grad (1/r)
grad (1/r) = - r /r³

(cf. Analyse Vectorielle > Relations différentielles)

on obtient de nouvelles expressions de l'induction et du champ magnétiques dus au dipôle

1. 3 Potentiel scalaire magnétique

La relation

établie au paragraphe précédent, montre que le champ magnétique H(P) dérive d'un potentiel scalaire f(P):

H(P) = - grad f(P)

avec

{div (m /r) = m. grad (1/r), OP = r et r = ||OP|| : cf. §1.2}

Cette expression est analogue à celle obtenue en électrostatique pour le potentiel scalaire d'un dipôle électrique, les expressions des champs qui dérivent de ces potentiels présentent donc aussi la même analogie, d'où