6) On considère la chaine suivante, d'atomes de même nature séparés alternativement d'une distance a et b = a/4, indicés de 0 à N, dont la structure pourrait être celle d'une chaine d'hydrocarbures possèdant des liaisons simples et doubles alternées.

1) Définir la structure par son réseau et sa base.
2) On éclaire cette chaine à incidence normale par une radiation X monochromatique. Dans l'hypothèse où n'existeraient que les atomes pairs, donner la différence de marche entre les rayonnements diffusés dans la direction Q par deux atomes consécutifs.
3) Pour quelles valeurs particulières de Q observerait on des taches de diffraction?
4) Montrer que l'addition des atomes impairs accentue l'intensité diffractée dans certaines directions tandis qu'elle la fait disparaitre dans d'autres.
5) Retrouver ce résultat à l'aide du facteur de structure.
6) Application numérique: l = 0,5Å et a = 5Å. Dresser le tableau par valeurs croissantes de
( 0 < Q < p/2) pour lesquelles les conditions de diffraction par les seuls atomes pairs sont satisfaites. Préciser les valeurs correspondantes du rapport des intensités I'_r / I_r de l'intensité diffractée totale sur l'intensité diffractées par les atomes pairs.

On admet que la chaine d'atomes a une longueur finie comportant N fois la base.

7) Trouver l'expression de l'intensité diffusée en fonction de Q en ne tenant compte que des atomes pairs.
8) Que devient cette intensité diffusée si on tient compte aussi des atomes impairs.

1) Réseau et base

Pour respecter le caractère périodique que doit présenter le réseau le vecteur de base ne peut être que

a = a i

où i est le vecteur unitaire selon l'axe de la chaîne d'atomes. Pour définir complètement la structure on doit alors considérer un motif à deux atomes:

1 atome en 0
1 atome en b = a / 4

2) Atomes pairs seulement, Différence de marche

Si on éclaire la chaîne d'atomes par une onde monochromatique plane perpendiculaire à i, la différence de marche est

d = a sin Q

3) Atomes pairs seulement - Intensité diffractée

En considérant une onde incidente plane sinusoïdale d'amplitude,

s(r, t) = Ae^{jw(t - r/c)}

A étant une constante, r la distance et c la célérité de la lumière, l'amplitude de l'onde diffusée est de la forme:

s'(r, t) = A [ e^{jw(t - r/c)} + e^{jw(t - (r+d) /c)} ] = Ae^{jw(t - r/c)} [ 1 + e^{-jwd /c)} ]

L'intensité réfléchie est proportionnelle au module de l'amplitude au carré, soit:

I_r = K |s'(r,t)|² = 2K |A|² [ 1 + cos (wd / c) ]

K étant une constante de proportionalité.

        Intensité maximale

L'intensité sera donc maximale pour:

cos (wd / c) = 1

soit, en notant l la longueur d'onde de l'onde incidente,

wd / c = 2pd / l = 2pn         avec n entier

ou encore

d = nl , sin Q = nl / a

L'intensité est alors

I_r = K |s'(r,t)|² = 4K |A|²

        Intensité nulle

L'intensité I_r sera nulle pour:

cos (wd / c) = - 1

soit, en notant l la longueur d'onde de l'onde incidente

wd / c = 2pd / l = (2n + 1)p         avec n entier

ou encore

d = (2n + 1)l / 2 , sin Q = (2n + 1)l / 2a

4) Atomes pairs et impairs

Tenir compte des atomes impairs revient à ajouter des centres de diffusions supplémentaires qui introduisent une différence de marche

d' = b sin Q = (a / 4) sin Q = d / 4

Pour une onde plane similaire à la précédente, l'amplitude de l'onde diffusée devient donc

s'(r, t) = A [ e^{jw(t - r/c)} + e^{jw(t - (r + d) /c)} + e^{jw(t - (r + d') /c)} + e^{jw(t - (r + d+d') /c)} ]
= Ae^{jw(t - r/c)} [ 1 + e^{-jwd /c)} ] [ 1 + e^{-jwd' /c)} ]

L'intensité réfléchie est proportionnelle au module de l'amplitude au carré, soit:

I'_r = K |s'(r,t)|² = 4K |A|² [ 1 + cos (wd / c) ][ 1 + cos (wd' / c) ]

Le premier terme entre parenthèses est le même que dans la question précédente. On sait que les pics de diffraction définis par ce terme sont localisés par:

d = nl , sin Q = nl / a          avec n entier

On va donc examiner l'influence du deuxième terme entre parenthèsse sur l'intensité selon les angles Q ainsi définis.

        Intensité nulle

Le second terme est d'une forme similaire à celle du premier en substituant d' à d. Il s'annule pour

wd' / c = 2pd' / l = (2n + 1) p         avec n entier

ou encore

d' = (2n + 1)l / 2   soit   d = 2 (2n + 1)l et sin Q = 2 (2n + 1)l / a

L'intensité I'_r est nulle pour ces valeurs d'angle alors qu'elle était maximale dans le cas précédent (question 3 ).

        Intensité maximale

L'intensité sera maximale pour:

cos (wd' / c) = 1

soit en notant l la longueur d'onde

wd' / c = 2pd' / l = 2pn         avec n entier

ou encore

d' = nl  soit  d = 4nl et sin Q = 4nl / a         

L'intensité est alors

I'_r = K |s'(r,t)|² = 16K |A|² = 4 I_r

        Cas des multiples impairs de l / a

Dans le cas des multiple impairs de l / a

sin Q = (2n + 1)l / a   soit d' = (2n + 1)l / 4 et d = (2n + 1)l      avec n entier

On a alors

cos (wd' / c) = 0 et en reportant dans l'expression de l'intensité

I'_r = K |s'(r,t)|² = 8K |A|² = 2 I_r

5) Facteur de structure

Dans le cas général, le facteur de structure est défini par:

(x_i, y_i, z_i) sont les coordonnées des atomes de la maille, (h, k, l) les indices de miller des plans réticulaires et f_i le facteur forme atomique. Dans notre cas (une dimension et tous les atomes identiques), si on ne tient compte que des atomes pairs, le facteur de structure et l'intensité s'écrivent:

S_hkl = f                   I_r = K | f |²

où f est le facteur de forme atomique.

Si on tient compte à la fois des atomes pairs et impairs, le facteur de structure devient:

S_hkl = f [ 1 + e^-i2ph/4 ] = f [ 1 + e^-iph/2 ]

pour h = 4n                S_hkl = 2f                   I'_r = K | 2f |² = 4 K | f |² = 4 I_r
pour h = 2 (2n+1)     S_hkl = 0                     I'_r =  0
pour h = 2n+1           S_hkl = f (1 ±  i )         I'_r = K | f (1 ±  i ) |² =  2 K | f |² = 2 I_r

On retrouve par cette approche le même résultat concernant les intensités diffractées.

6) Application numérique

l = 0,5Å et a = 5Å

7) Chaine d'atomes de longueur finie - Intensité diffusée par les atomes pairs

En considérant une onde incidente plane sinusoïdale d'amplitude,

s(r, t) = Ae^{jw(t - r/c)}

les N atomes de la chaine étant indicés de 0 à N-1, l'amplitude totale de l'onde diffusée est la somme des amplitudes diffusées par chacun des atomes pairs, soit:

Il s'agit d'une suite géométrique de raison q = e^-j2pd/l, d'où

On en déduit l'intensité diffusée:

ou

(1 - cos2x = 2 sin²x)

L'intensité est maximale pour

sin(pd/l) = 0

soit

d = nl       sin Q = nl / a          avec n entier

On retrouve le résultat obtenu pour une chaine infinie d'atomes. L'intensité est nulle lorsque

sin (Npd /l) = 0    et   sin (pd /l) ¹ 0

d = nl / N   et    d ¹ nl                                           avec n entier
ou  sin Q = nl / Na     et     sin Q ¹ nl /a           avec n entier

8) Chaine d'atomes de longueur finie - Intensité diffusée par les atomes pairs et impairs

De manière similaire à la première partie du problème, les atomes impairs sont autant de centres de diffusion supplémentaires qui introduisent une différence de marche d'. L'amplitude totale de l'onde diffusée est la somme des amplitudes diffusées par chacun des atomes, soit :

Et l'intensité correspondante,

I'_r = 4I_rcos² (pd'/l)

Les maxima d'intensité sont positionnés aux même abcisses que lorsqu'on ne tient compte que des atomes pairs, mais l'intensité est modulée par un cosinus au carré.