2)
1) Déterminer les facteurs de structure S_hkl des différentes structures cubiques (cubique simple, cubique centré, cubique faces centrées, diamant).
2)Trouver dans chacun des cas les zéros de S_hkl et en déduire les raies permises.
3) montrer comment on peut à partir de la relation de Bragg indexer les raies d'un cristal cubique et déterminer le paramètre de réseau.

1) et 2) facteurs de structure et raies permises

L'intensité des raies de diffraction est proportionnelle au carré du module du facteur de structure définit par:

S_hkl = S f_i e^{-j2p ( x}i^{h + y}i^{k + z}i^{l )}

f_i: facteur de forme atomique
( x_i, y_i, z_i ) coordonnées du ième atome de la maille cristallographique
h, k, et l  indices de miller du plan ( h, k, l )

Cubique simple:
                               un atome en ( 0, 0, 0 )        

                              S_hkl = f_i                              toutes les raies sont présentes.

Cubique centré:
                               un atome en ( 0, 0, 0 )
                               un atome en ( 1/2, 1/2, 1/2 )           

                               S_hkl= f_i [ 1 + e^{-jp ( h + k + l )} ]
                               S_hkl = 2 f_i       si h + k + l est pair, les raies sont présentes
                               S_hkl = 0          si h + k + l est impair, pas de raie.

Cubique faces centrées:
                               un atome en ( 0, 0, 0 )
                               un atome en ( 0, 1/2, 1/2 )                
                               un atome en ( 1/2, 0, 1/2 )
                               un atome en ( 1/2, 1/2, 0 )              

                               S_hkl= f_i [ 1 + e ^{-jp ( h + k )} + e^{-jp ( h + l )} + e^{-jp ( l + k )} ]
                               S_hkl = 4 f_i          si h, k, l sont de même parité, les raies sont présentes
                              S_hkl = 0               si h, k, l sont de parités différentes, pas de raie.

Stucture diamant:
                              réseau cubique faces centrées + base à deux atomes
                              un atome en ( 0, 0, 0 )                
                              un atome en ( 1/4, 1/4, 1/4 )    

S_hkl = f_i [ 1 + e^{-jp ( h + k )} + e^{-jp ( h + l )} + e^{-jp ( l + k )} + e^{-jp (h + k + l ) / 2} + e^{-jp (3h + k + l ) / 2} + e^{-jp (h +3k + l ) / 2} + e^{-jp (h + k +3l ) / 2}]
         = f_i [ 1 + e^{-jp ( h + k + l ) / 2} ][ 1 + e^{-jp ( h + k )} + e^{-jp ( h + l )} + e^{-jp ( l + k )} ]

S_hkl = 4 f_i ( 1 + j )        si h, k, l sont impairs,les raies sont présentes
S_hkl = 8f_i                       si h, k, l sont de pairs et h + k + l = 4n (n entier), les raies sont présentes.
S_hkl = 0                        si h, k, l sont de parités différentes, pas de raie.

3) indexation des raies de diffraction

La relation de Bragg s'écrit:

2d_hkl sin Q = l

D'après ce qui précède on peut obtenir le tableau suivant, les angles Q étant classés par ordre croissant:

h k l	100	110	111	200	210	211	220	221
angle Q	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6	Q7	Q8
dhkl	a			a / 2				a / 3
cs	x	x	x	x	x	x	x	x
cc		x		x		x	x
cfc			x	x			x
diam			x				x

Q est l'angle entre le rayon diffusé et le plan ( h k l ), d_hkl est la distance inter-réticulaire et l la longueur d'onde du faisceau incident et a le paramètre cristallin. Les "x" repèrent les raies présentes dans les cas d'un cristal cubique simple (cs), cubique centré (cc), cubique face centré et diamant (diam).
       Connaissant l, la mesure des différent angles de diffraction permet de remonter aux valeurs de d_hkl. Il suffit alors d'effectuer les rapports entre les d_hkl successives et de vérifier la cohérence avec les différents cas. Les raies étant indexées ont obtient immédiatement a le paramètre cristallin.

Ex: Si le rapport des deux premiers d_hkl est (4 / 3)^1/2 il s'agit d'un cfc.