7) Soit une sphère diélectrique monocristalline de symétrie cubique, ne comportant pas de dipôles électriques permanents, soumis à un champ uniforme influençant E₀. Ceci peut être réalisé, par exemple, en plaçant la sphère entre les plaques d'un condensateur de grande dimension par rapport à celle de la sphère.

    1) Quel est le champ macroscopique agissant au centre de la sphère?
    2) On veut connaître le champ effectif local au centre de la sphère ; on suppose que l'on a ôté de ce point, qui est un site cristallin, l'atome qui aurait dû s'y trouver. Le champ effectif local en ce point s'écrit alors:

E_loc = E₀+ E_dip

où E_dip représente le champ créé par l'ensemble de dipôles induits par le champ extérieur.

            21) Rappeler l'expression du champ créé par un dipôle de moment p en un point situé à la distance r de ce dipôle, puis l'expression du champ E_dip dû à l'ensemble des dipôles.
           22) Le champ est appliqué selon un axe cristallin (Oz par exemple). Calculer E_dip au centre de la sphère.
           23) En déduire l'expression du champ effectif local au centre de la sphère. On l'exprimera en fonction de E_dip d'une part, puis de E d'autre part, E étant le champ macroscopique agissant dans la sphère.
      3) On suppose maintenant que l'échantillon n'est plus sphérique mais ellipsoïdal et que le site vacant n'est pas au centre de l'échantillon. On applique le champ suivant un axe de l'ellipsoïde.
            31) Exprimer le champ agissant macroscopique dans l'échantillon en fonction du champ influençant, de la polarisation p et du facteur dépolarisant N suivant cet axe.
            32) Pour trouver l'expression du champ local dans le site vacant, on divise l'échantillon en deux parties, une portion sphérique centrée sur le site vacant, de rayon a et le reste ; le champ dû à l'ensemble des dipôles de l'échantillon s'écrit alors:

E_dip = E_sphère + E_reste

On admet que le rayon de la sphère est suffisamment grand pour considérer le reste comme un continuum caractérisé par une polarisation p, c'est-à-dire qu'on peut considérer le problème comme le calcul d'un champ macroscopique

E_reste = E_s1 + E_s2

où E_s1 est le champ dû aux charges de polarisation sur la surface extérieure du reste et E_s2 le champ dû aux charges de polarisation sur la surface intérieure du reste. Calculer les expressions de E_s1et E_s2.
               33) En déduire le champ effectif au centre du site vacant
               34) Montrer que l'on peut généraliser ce résultat à un échantillon de forme quelconque

1) Champ macroscopique au centre de la sphère.

Le champ électrique à l'intérieur d'un échantillon diélectrique est donné par la relation:

E = E₀ - ( N/e₀ ) P

E₀ est le champ appliqué, N le facteur dépolarisant et P le vecteur polarisation. Dans le cas d'un échantillon sphérique N = 1 / 3

E = E₀ - (1/ 3e₀ ) P

2) Champ effectif local.

          21) Champ créé par un dipôle - Champ créé par l'ensemble des dipôles

Le champ créé par un dipôle p en un point M repéré par le rayon vecteur r est donné par:

Le champ total dû à un ensemble de dipôles est donc

        (1)

r_i ( x_i, y_i, z_i ), de module r_i, désigne le vecteur liant le dipôle p_i au point sur lequel on calcule le champ.

          22) Champ appliqué selon l'un des axes cristallins

Le champ électrique E₀ étant appliqué selon l'axe z, les dipôles qu'il induit sont eux aussi orientés selon Oz.
p_i( 0, 0, p_i ). Si r_i désigne la distance entre le dipôle i et le centre de la sphère r_i ( x_i, y_i, z_i ) on a
                                                    p_i . r_i = p_i r_i cos q_i = p_i z_i

Par raison de symétrie le champ où E_dip créé par l'ensemble des dipôles est selon z. D'après la relation (1)

Comme on se place au centre de la sphère on a de plus:

La contribution au champ électrique des dipôles au centre de la sphère est donc nulle.

E_dip = 0

          23) Champ local.

E_loc = E₀ + E_dip = E₀ = E + (1/ 3e ₀ ) P

On retrouve l'expression du champ local de Lorentz.

3) Echantillon non sphérique

            31) Champ macroscopique

Le champ étant appliqué suivant un axe de l'éllipsoïde

E = E₀ - ( N/e₀ ) P

N étant le facteur dépolarisant.

            32) Calcul de E_s1 et E_s2

E_dip = E_sphère + E_reste

E_sphère = 0  (c.f. 2.2)

E_reste = E_s1 + E_s2 est le champ dû aux charges surfaciques de polarisation sur les surfaces externe s₁ et interne s₂ du diélectrique. La densité volumique de charges de polarisation est nulle puisque la polarisation est uniforme. (r = - div P = 0)

Le champ sur la surface extérieure est:

E_s1 = - ( N/e₀ ) P

La densité surfacique de charges de polarisation sur la surface intérieure s₂ du reste (surface de la sphère autour du site vacant) est:

E_loc = E₀ + E_sphère + E_reste = E₀ + E_sphère + E_s1 + (1/ 3e ₀ ) P
= E + (1/ 3e₀ ) P

E_s1 est le champ dépolarisant macroscopique mais il ne s'exprime pas forcément sous la forme:

E_s1 = - ( N/e₀ ) P