2) On considère une sphère de rayon R constituée dans un matériau homogène de constante diélectrique e_i plongée dans un milieu diélectrique homogène de constante diélectrique e_e. On place ce système dans un champ uniforme E₀ supposé parallèle à l'axe Oz.
     1) Calculer le potentiel en tout point de l'espace.
     2) Calculer le champ en tout point de l'espace.
     3) Calculer le champ dépolarisant dans la sphère.
     4) Calculer le facteur dépolarisant dans la sphère
     5) Calculer la densité superficielle de charges fictives sur la sphère.

l) et 2) Potentiel et champ électriques en tout point

On a une symétrie de révolution autour de l'axe Oz donc le problème est à deux variables
(r, q). En exploitant les distributions de charges de polarisation équivalentes, la solution est donnée par la résolution de l'équation de Poisson:

DV = - r / e₀

Le diélectrique est parfait et on n'a pas de charges de conduction, donc:

r = r_p = - div P

Les solutions de l'équation de Poisson à deux variables peuvent s'écrire:

V_i = Ar cos q + ( B / r² ) cos q
V_e = Cr cos q + ( D / r² ) cos q

A, B, C et D étant des constantes, V_e et V_i désignant respectivement les potentiels à l'extérieur et à l'intérieur de la sphère diélectrique.

Le potentiel doit être partout définit, en particulier au centre de la sphère (r = 0), d'où B = 0.

Le champ électrique E₀ = E₀i ( i vecteur unitaire selon Oz ) à l'extérieur de la sphère vérifie lorsque r tend vers l'infini et que le terme { ( D / r² ) cos q }tend vers zéro:

C = - E₀

d'où

V_i = Ar cos q
V_e = - E₀r cos q + ( D / r² ) cos q

Le potentiel doit être continu en tout point. Pour r = R.

V_i = AR cos q = V_e = - E₀R cos q + ( D / R² ) cos q               (1)

Dans le cas de diélectriques parfaits, sans charges de conduction sur la surface de la sphère, on doit avoir

( D_e - D_i ) . n = D_ne - D_ni = s = 0
et     D_e = e_e E_e        D_i = e_i E_i

d'où

            
- e_iA cos q = e_eE₀ cos q + e_e 2D cos q / R³                       (2)

La résolution des équations (1) et (2) conduit à:

On en déduit les expressions du potentiel et du champ électriques:

V_i = - E₀ ( 1 - a )r cos q
E_i = E₀ ( 1 - a ) ( cos q u_r - sin q u_q ) = ( 1 - a ) E₀
V_e = - E₀ [ 1 - a ( R / r )³] r cos q
E_e = E₀ { cos q [ 1 + 2a ( R / r )³ ] u_r - sin q [ 1 - a ( R / r )³ ] u_q }

avec

a = (e_i - e_e ) / ( 2e_e + e_i )

3) Champ dépolarisant de la sphère

On décrit le champ macroscopique à l'intérieur de la sphère sous la forme

E_i = E₀ + E_p

E_i est le champ macroscopique, E₀le champ appliqué et E_p le champ dépolarisant.

Les expressions précédentes donnent:

E_p = a E₀

4) Facteur dépolarisant de la sphère

Le champ E_i étant écrit sous la forme:

E_i = E₀ - a P_i = E₀ - a (e_i - e₀ ) E_i

P_i étant le vecteur polarisation à l'intérieur de la sphère diélectrique. On en déduit le facteur dépolarisant a de la sphère:

5) Densités de charges fictives de polarisation

Le diélectrique étant homogène et le champ E_i uniforme dans la sphère (c.f. 2), la densité de charges volumique de polarisation est nulle

r_p = - div P

La densité surfacique de charges de polarisation est donnée quant à elle par la relation:

s_p = P. n_{r = R} = [( P_i - P_e ) . n]_{r = R}
P_i = (e_i - e₀ ) E_i                            
P_e = (e_e - e₀ ) E_e                          

On en déduit la relation: