1) On considère dans le vide une sphère S de centre 0 et de rayon R, constituée par un diélectrique rigide polarisé de la façon suivante : en un point de la sphère, la polarisation est radiale et son intensité P a même valeur en tous les points de S.
Un point M de l'espace sera repéré par ses coordonnées sphériques ( r = OM, q , j ).
     1) Quelles sont les charges fictives de polarisation et quelle est leur somme algébrique totale?
     2) En déduire le champ électrique puis le potentiel, que l'on prendra nul à l'infini, en un point quelconque de l'espace (On affectera l'indice 1 à ce qui est intérieur à la sphère et l'indice 2 à ce qui est extérieur).
    3) Calculer directement le potentiel en un point quelconque à partir de méthodes générales de l'électrostatique (équation de Poisson...).
    4) Déterminer l'énergie électrostatique de cette sphère diélectrique par trois méthodes différentes.
    5) Le champ dans le diélectrique serait-il modifié si une cavité sphérique, de rayon R₁ et de centre 0, était creusée dans le diélectrique.

1) Charges fictives de polarisation

La distribution de dipoles est équivalente à la superposition une distribution surfacique de charges de densité s et d'une distribution volumique de charges de densité r.

s = P. n = P

La charge totale de la sphère diélectrique est donc

2) Champs et potentiels électriques

En raison de la symétrie sphérique du système, le champ est radial et ne dépend que de r. En appliquant le théorème de Gauss sur une surface s sphérique centrée sur O:

        - à l'intérieur de la sphère diélectrique

        - à l'extérieur de la sphère diélectrique    

                                                         E_e = 0

On en déduit le potentiel à partir de la relation:   E = - grad V

        - à l'extérieur de la sphère diélectrique

                        V_e = 0        (En supposant le potentiel nul à l'infini)

        - à l'intérieur de la sphère diélectrique, le potentiel devant être continu partout

V_i(R) = V_e(R)

3) Calcul direct du potentiel

En utilisant la loi de Poisson,

         - à l'extérieur de la sphère diélectrique

A est une constante et le potentiel est pris nul à l'infini.

        - à l'intérieur de la sphère diélectrique

C et D sont des constantes.
Le potentiel devant être partout défini, en particulier pour r = 0, C = 0.
De même le potentiel étant continu en tout point on a

De plus, les vecteurs inductions électriques à l'extérieur et à l'intérieur de la sphère de diélectrique sont:

D_e = e₀E_e     D_i = e₀E_i + P

La condition de continuité de la composante normale de l'induction électrique nous donne en r = R:

(D_e - D_i) . n = ( e₀E_e - e₀E_i - P ) . n = 0

d'où A = 0 et D = - ( PR/ e₀ ) et

      V_e = 0

4) Energie électrostatique

               a) Première méthode: à partir des distributions de charges équivalentes

               b) Deuxième méthode: à partir du vecteur polarisation P

               c) Troisième méthode: à partir de la densité d'énergie électrostatique

5) Cavité sphérique dans le diélectrique

On peut appliquer le théorème de Gauss en faisant varier le rayon de la sphère de Gauss. Soit R₁ le rayon de la cavité et S₁ la surface qui la délimite.

      - pour r < R₁  r = 0 donc la charge à l'intérieur de la surface de Gauss est Q_int = 0 et le champ électrique
                                                                          E₁ = 0

      - pour R₁< r < R   La symétrie sphérique étant conservée la polarisation est toujours radiale et la densité volumique de charge de polarisation est toujours r = - (2P / r )
Les distributions surfaciques sont:
    - pour r = R₁:    s₁ = P. n = -P (la normale n étant orientée toujours vers l'extérieur du diélectrique)
    - pour r = R:    s = P. n = P (inchangée)

Le théorème de Gauss s'écrit

Le champ électrique est

      - pour r > R, le théorème de Gauss s'écrit:

                                                                                           E_e = 0

Les champs électriques sont inchangés, sauf dans la cavité.