1) On considère un électron de masse m, de charge e décrivant avec la vitesse angulaire w une orbite circulaire de rayon r autour du noyau.

1) Exprimer le moment magnétique M correspondant, ainsi que le moment cinétique N de cet électron et donner l'expression du rapport gyromagnétique g.

Ce système est placé dans un champ magnétique uniforme H faisant un angle (p/2 - q) avec la direction de N.

2) montrer en utilisant le théorème du moment cinétique que le système va suivre un mouvement de précession par rapport à la direction de H avec une vitesse angulaire w_p que l'on calculera.
3) En déduire le moment cinétique induit par un tel mouvement ainsi que le moment magnétique correspondant.
4) Si cet atome possède Z électrons circulant sur des orbites circulaires de rayon moyen R et dont les plans sont répartis de façon isotrope dans l'espace, donner l'expression du moment magnétique.
5) Le matériau possèdant N atomes par unité de volume, en déduire l'expression de la susceptibilité diamagnétique.

1) Moment magnétique - moment cinétique -rapport gyromagnétique

Moment magnétique:

Il est définit pour une spire caractérisée par le vecteur surface S parcourue par un courant I par la relation

M = IS = Ipr²n = (w/2p)epr² = wer² / 2 n

avec S = Sn et e = 1,6 10^-19C

Moment cinétique

Il est définit par la relation

N = r x m v

où v est le vecteur vitesse linéaire, de module v, de l'électron et r le vecteur position.

soit

N = - m v r n = - m w r² n

M et N sont colinéaires mais en sens inverses

Rapport gyromagnétique

On a donc

2) Mouvement de précession

Le théorème du moment cinétique nous donne:

(dN /dt) = µ₀ M x H = - µ₀ g N x H

soit avec N ( N_x, N_y, N_z ) et H (0, 0, H)

d'où N_z = cst

En dérivant les deux équations par rapport au temps on obtient

Ces équations différentielles admettent des solutions de la forme:

N_x,y = A cos (w_p + f )

A étant une constante et w_p = gµ₀H.
La projection du moment cinétique N dans le plan (x, y) suis donc un mouvement de rotation alors que sa projection sur l'axe Oz est constante, on à un mouvement de précession de N autour de Oz c'est à dire de la direction du champ H.

3) Moment cinétique et moment magnétique dûs au mouvement de précession

Il est donné par la relation

N_p = r₀ x m v_p

où v_p = w_pr₀ j est la vitesse linéaire de l'orbite électronique autour de Oz et r₀, de module r₀, la projection du rayon de la trajectoire de l'électron projetée dans le plan (x, y). On a donc:

N_p = m r² sin²q w_pk = m r² sin²q g µ₀H

k étant le vecteur unitaire selon la direction de H.

On en déduit le moment magnétique correspondant

M_p = - g N_p = - m r² g ²µ₀sin²q H = - ( µ₀ e² r² sin²q / 4m ) H

4) Atome à Z électrons

Si l'atomes possède Z orbites électronique uniformément distribuées dans l'espace, de rayon moyen R, le moment magnétique devient

M_p = - m r² g² µ₀ Z< sin²q > H = - ( µ₀ e² r²Z< sin²q > / 4m ) H

où < sin²q > est la valeur moyenne de sin²q. En supposant que les orbites sont distribuées uniformément dans l'espace, la probabilité de trouver N dans l'intervalle [q, q+dq] est dW/4p, avec l'angle solide dQ = 2psinqdq. La valeur moyenne < sin²q > est donc donnée par:

et le moment magnétique de l'atome par:

M_p = - ( µ₀ e²R²Z / 6m ) H

5) Susceptibilité diamagnétique

L'aimantation du système est donnée par:

I = NM_p = - ( µ₀ Ne²R²Z / 6m ) H = c H

où c est la susceptibilité diamagnétique, d'où

c = - ( µ₀ Ne²R²Z / 6m )