1) DEFINITIONS ET THEOREMES FONDAMENTAUX

1. 1 Potentiel scalaire

Dans un espace affine E à trois dimensions, on appelle potentiel scalaire, toute application qui, à un point M de E fait correspondre un nombre réel U(M). Une surface équipotentielle définie par U(M) = R est un ensemble de points pour lesquels U(M) prend une valeur donnée R.

1. 2 Champ de vecteurs

Dans un espace affine E, on appelle champ de vecteurs, toute application qui, à un point M de E fait correspondre un vecteur E(M) de l'espace vectoriel associé à E. Les lignes de champ sont les courbes de E telles qu'en tout point le vecteur E(M) leur soit tangent.

1. 3 Circulation d'un vecteur

A(M) désignant le vecteur champ au point M et dM un vecteur déplacement élémentaire quelconque de M, on appelle circulation élémentaire de A(M) le produit scalaire

d C = A(M). dM

L étant un parcours quelconque entre les points a et b de E et le champ de vecteurs A(M) étant défini et continu en tout point de L, on appelle circulation de A(M) sur le parcours L l'intégrale curviligne

1. 4 Flux d'un vecteur

Soit une surface élémentaire dS localisée en M définie par son vecteur surface dS = dS n, n étant le vecteur unitaire suivant la normale à dS. On appelle flux du vecteur A(M) à travers dS le produit scalaire

df = A(M). dS = dS A(M). n

S étant une surface définie en chacun de ses points par le vecteur unitaire normal n(M), n(M) est une fonction vectorielle continue et le flux de A(M) à travers S s'écrit:

L'orientation de n(M) est arbitraire et de celle-ci dépend le signe du flux du vecteur A(M) à travers la surface S. Dans le cas d'une surface fermée on oriente généralement la normale vers l'extérieur.

1. 5 Théorème d'Ostrogradski

Considérons un domaine D de l'espace affine E, dans lequel le champ de vecteurs A(M) est défini en tout point. Soit une surface fermée S, caractérisée en chacun de ses points par le vecteur unitaire n(M), et délimitant un volume V de D.
Il existe alors une fonction scalaire div A(M), appelée divergence de A(M) au point M, définie en tout point du domaine D, telle que

dV est l'élément de volume centré sur le point M de V et dS l'élément de surface entourant le point P de S. Cette relation constitue le théorème d'Ostrogradski. On peut l'exprimer de la façon suivante: Le flux du vecteur A(M) à travers une surface fermée est égal à l'intégrale volumique de div A(M) sur le volume qu'elle délimite.

1. 6 Théorème de Stokes

Soit un champ de vecteurs A(M) défini en tout point du domaine D de l'espace affine E, et un parcours fermé et orienté L (contour orienté). Considérons une surface S s'appuyant sur L, caractérisée par son vecteur normal n(M), orienté de façon à ce que le déplacement élémentaire dP sur L et n(M) forme un repère direct de E.
Il existe une fonction vectorielle rot A(M), appelée rotationnel de A(M) au point M, définie en tout point du domaine D, telle que

dP est le déplacement élémentaire du point P sur L et dS l'élément de surface entourant le point M de S. Cette relation est l'expression du théorème de Stokes. On peut l'énoncer par: La circulation du vecteur A(M) sur un parcours fermé L est égale au flux de rot A(M) à travers une surface quelconque s'appuyant sur L.

1. 7 Vecteur gradient

M étant un point de l'espace affine E, On appelle vecteur gradient d'une fonction scalaire U(M), un vecteur grad U(M) de l'espace vectoriel associé à E tel que

dU = grad U(M). dM

La différentielle dU de la fonction U(M) est donc la circulation élémentaire de son vecteur gradient.

Une propriété importante du vecteur gradient découle directement de sa définition. Considérons une surface équipotentielle S de la fonction scalaire U(M), c'est à dire une surface telle qu'en tout point M qui lui appartient, U(M) prend la même valeur U₀. Pour un déplacement élémentaire dM du point M sur S, on a

dU = U₀ - U₀ = grad U(M). dM = 0

Le vecteur grad U(M) est donc normal à la surface équipotentielle passant par M de la fonction scalaire de U(M).

1. 8 Laplacien

Par définition, le laplacien d'une fonction scalaire U(M) est la fonction scalaire DU(M) telle que

DU(M) = div [grad U(M)]

On peut étendre cette définition du laplacien au cas d'une fonction vectorielle A(M) en écrivant

DA(M) = grad [div A(M)] - rot [rot A(M)]

On notera que DA(M) est une fonction vectorielle.

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