1) introduction

Le problème posé est celui de l'étude du phénomène de polarisation orientationnelle, encore appelée polarisation dipolaire, sous l'action d'un champ dépendant du temps, au travers de la permittivité complexe e du diélectrique. L'effet d'un champ statique sur cette polarisation est traité dans la rubrique Polarisabilité orientationnelle. Le raisonnement qui suit permet de retrouver le modèle de Debye pour la polarisation dipolaire, bien que la démarche suivie par Debye ait été différente. Cette dernière sera présentée ultérieurement.

2) Fonction de relaxation et permittivité complexe

Lorsque le champ électrique E, appliqué à un milieu diélectrique, est fonction du temps, il apparait un déphasage entre l'induction D et E. Les interactions entre molécules tendent à "freiner" la rotation des dipoles qui essayent de s'aligner sur le champ. De ce fait, la polarisation P est généralement en retard sur le champ. La relation D = e E, n'est plus applicable avec un e réel. Pour rendre compte du déphasage on pose alors

e = e' - je"         et    tg d = e"/e'

d est appelé l'angle de perte. Si le champ est une fonction harmonique du temps

E(t) = E₀e^jwt

l'induction électrique devient donc

D(t) = e E₀e^jwt = (e' - je") E₀e^jwt                    (1)

D'autre part, pour décrire la relation entre l'induction et le champ en tenant compte de leur déphasage, nous pouvons introduire la fonction de relaxation f(x), telle que,

Le terme f(x)E(t-x) est la contribution liée au champ qui existait aux instants antérieurs, et le terme e_eE(t) représente la contribution, des autres mécanismes de polarisation, en phase avec le champ (polarisations électronique et ionique). f(x) est une fonction décroissante, qui physiquement, tend nécessairement vers zéro lorsque t tend vers l'infini. En conséquence, lorsque t devient suffisamment grand, de telle sorte que la fonction de relaxation devienne négligeable, on peut étendre l'intégrale jusqu'à l'infini sans modifier notablement le résultat.

Dans ces conditions, pour un champ ayant la forme définie précédemment, on obtient

           (2)

La comparaison des équations (1) et (2) conduit alors à

Il apparait dans cette relation, que la contribution dipolaire à la permittivité complexe, représentée par l'intégrale, est fonction de la fréquence. La contribution e_e des autres mécanismes semble quant à elle indépendante de la fréquence. Ce n'est pas le cas dans l'absolu (cf. Polarisabilité électronique et Polarisabilité ionique ), mais dans la gamme de fréquences dans laquelle existe le phénomène de polarisation dipolaire, les contributions électronique et ionique à la permittivité complexe sont sensiblement constantes.

3) Modèle de Debye

Supposons que la fonction de relaxation précédente soit de forme exponentielle:

f(t) = A e^-t/t

où t est le temps de relaxation on a donc

soit

e(w) = e'(w) - je"(w) = e_e + At / (1+ jwt)

Notons e_s la permittivité statique (w = 0),

e_s = e_e + At

et par suite

e(w) = e'(w) - je"(w) = e_e + (e_s - e_e) / (1+ jwt)

ou encore, en séparant parties réelle et imaginaire

e'(w) = e_e + (e_s - e_e) / [(1+ (wt)²]           e"(w) = (e_s - e_e)wt / [(1+ (wt)²]

tan d = e"(w)/e'(w) = (e_s - e_e)wt / [(e_s+ e_e(wt)²]

Ci dessous sont tracées les courbes "normalisées" de e'(w) -1 et e"(w) en fonction de wt

             f₁(wt) = [e'(w) - e_e] / (e_s - e_e) = [(1+ (wt)²]     
et    f₂(wt) = e"(w) / (e_s - e_e) = wt / [(1+ (wt)²]

Il est facile de vérifier que la dérivée de la fonction e"(w) s'annule pour wt = 1. e"(w) passe donc par un maximum pour w_m  = 1/t. Les parties réelle et imaginaire de la permittivité complexe sont dans ce cas:

e'(w_m) = (e_s + e_e) / 2           e"(w_m) = (e_s - e_e) / 2

Le comportement de la polarisation caractérisé par une telle variation de la permittivité diélectrique complexe (décroissance de la partie réelle et simultanément passage par un maximum de la partie imaginaire), est appelé la relaxation dipolaire. Sa pulsation centrale w_m est située, pour les liquides, dans le domaine des ondes hertziennes. Les phénomènes de relaxations ionique et électronique se situant respectivement dans l'infra rouge et l'ultraviolet, on peut donc, comme nous l'avons fait dans la démonstration, considérer que leurs contributions à la permittivité est constante dans la gamme de pulsations dans laquelle nous menons l'étude présente.

Remarque: L'allure des courbes de e'(w) - 1et e"(w) en fonction de w étant maintenant connues, il est plus facile de visualiser la signification des constantes e_s et e_e. Elles représentent les valeurs prises par la partie réelle de la permittivité respectivement "loin avant" et "loin après" la relaxation dipolaire (mais "avant" la relaxation ionique et électronique), c'est à dire pour des pulsations respectivement très inférieures et très supérieures à la pulsation centrale w_m.

4) Diagramme Cole-Cole

A partir des expressions précédentes de  e'(w) et e"(w), on obtient

puis en substituant cette expression dans celle de e"(w),

soit, après simplifications

[e'(w) - e_s][e'(w) - e_e] + e"(w)² = 0

où encore

La courbe représentative de la variation de e"(w) en fonction de e'(w) décrit donc un demi cercle de centre [ (e_s+e_e)/2, 0] et de rayon (e_s-e_e)/2. Ce diagramme, obtenu dans le cas d'un diélectrique dont la fonction de relaxation est de forme exponentielle (f(t) = A e^-t/t), est appelé diagramme d'Argand ou diagramme Cole-Cole.

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