1)
1) Déterminer la constante de Madelung dans le cas d'un réseau ionique unidimensionnel supposé infini, constitué d'une succession d'ions positifs et négatifs.

On considère maintenant le cas d'un cristal de chlorure de sodium.

2) Déterminer la constante de Madelung par la méthode d'Evjen, en se limitant au premier ensemble d'ions.
3) En déduire l'énergie électrostatique de Madelung dans le cristal de NaCl. On prendra pour valeur de la distance interionique à l'équilibre R=2,82Å.

1) Réseau unidimensionnel

La constante de Madelung est définie par la relation:

avec e_ij = 1 si les ions sont de signes différents
              = -1 si les ions sont de même signe
et p_ij = r_ij / R où r_ij est la distance entre les atomes i et j et R la distance moyenne entre deux atomes plus proches voisins.

dans le cas d'un réseau unidimensionnel avec une succession d'atomes positifs et négatifs, et en choisissant un ion négatif comme référence, et en remarquant que le réseau est symétrique

2) Méthode de Evjen

La méthode de Evjen consiste à regrouper les ions entourant l'ion central de référence en ensembles électriquement neutres et d'effectuer la sommes des contributions des ces ensembles à la constante de madelung. Dans le cas du NaCl, en prenant comme ion de référence un ion de Cl, le premier ensemble de Ejven comprend:

          - 6 ions Na, premiers plus proches voisins, placés aux centres des faces de la maille, distants de a et portant une charge 1/2 puisque partagés entre deux mailles;
          - douze ions Cl, second plus proches voisins, placés aux milieux des arêtes de la maille, distants de 2^1/2a et portant une charge de -1/4, puisque appartenant à quatre mailles
          - huit ions Na, placés au sommet de la maille, distants de 3^1/2a, portant une charge de 1/8, puisque partagés entre huit mailles.

Si on ne tient compte que du premier ensemble la constante de Madelung du NaCl est donc:

Valeur réelle: 1,747

3) Energie électrostatique de Madelung

L'énergie électrostatique de Madelung est donnée par l'expression suivante: