1) On considère la droite D passant par les points de coordonnées cristallographique
M₁ (3, 0) et M₂ (0, 2).
Trouver:
1) l'équation de la rangée D dans le repère cristallographique;
2) le nombre de droites réticulaires de la même famille situées entre D et l'origine ainsi que leurs équations;
3) les équations des droites réticulaires de la même famille qui coupent les axes de coordonnées en des points qui soient des noeuds du réseau.
Correction

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2) Sur un cristal tétragonal, l'angle des normales à deux faces d'indices de Miller (h k 0) et (h -k 0) est de f = 53°10'.
Déterminer h et k.
Correction

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3) Montrer que la rangée [h k] la plus proche de l'origine coupe les axes respectivement en (-1/k, 0) et (0, 1/h) dans le système cristallographique, et (-a/k, 0) et (0, b/h) dans un repère normé.
Correction

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4) Un fragment de cristal est monté sur un goniomètre et les intersections des faces du cristal sont déterminées de la façon suivante:

Etant donné que les intersections de la première ligne définissent un plan, celui-ci peut être arbitrairement appelé (1 1 1). Trouver les indices de Miller des autres faces.
Correction

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5) Par rapport à un repère orthonormé OXY, les vecteurs fondamentaux sont définis par:

a = 2X                 b = X + 2Y

1) Calculer la distance inter-rangée [h k].
2) Calculer la distance inter-réticulaire d₃₂.
3) Trouver les vecteurs fondamentaux A et B du réseau réciproque.
4) vérifier que le vecteur G₃₂ = 3A + 2B est perpendiculaire au plan (3 2) et que le module de G₂₃ est égal à 2p/d₃₂
Correction

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6) Le graphite est un cristal lamellaire dans lequel les atomes de carbone sont, pour une couche donnée, distribués aux sommets d'hexagones réguliers de coté d, qui s'emboîtent les uns dans les autres pour former une structure en nid d'abeilles.

1) Caractériser cette structure par son réseau et sa base, et déterminer les vecteurs fondamentaux du réseau de réciproque.
Correction

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7)
1) A quelle condition l'orientation [u v w] peut elle être une arête de la face (h k l)?
2) Application: l'orientation [-2 1 0] peut elle être une arête du plan (1 2 3)?
3) Trouver les indices de Miller de l'arête suivant laquelle se coupent les faces (h k l) et (p q r).
4) Trouver la face à laquelle appartiennent les arêtes [h k l] et [p q r].
5) Montrer que les cosinus directeurs de la normale au plan (h k l) sont proportionnels aux indices de Miller h, k, et l.
6) En déduire la distance entre deux plans réticulaires (h k l) dans un réseau orthogonal (cubique, tétragonal, orthorombique). Calculer la distance entre deux plans (1 1 1) dans chacun de ces réseaux.

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8) Pour des corps simples cristallisant suivant un réseau cubique simple de paramètre a et comportant un atome de rayon R = a/2 en chaque point du réseau, Calculer la densité de surface occupé par les atomes sur les plans (1 0 0), (1 1 0) et (1 1 1) de la maille.

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9) Dans un espace euclidien, on considère un changement de base faisant passer de la base des vecteurs e_i à la base des vecteur E_j. Les nouveaux vecteurs sont liés aux anciens par une relation linéaire:
                                            E_j=a_ije_i                   i, j = 1, 2, 3                       Les a_ij sont les élément de la matrice de transformation.

Dans le repère cristallographique d'un système cubique, trouver:
1) les matrices de transformation correspondant à des rotation de ± p/2 autour de l'axe [1 0 0];
2) les matrices de transformation correspondant à des rotations de ± p/3 autour de l'axe [1 1 1] du cube.

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10)
1) Dans un changement de base, montrer que les indices de Miller des plans réticulaires se transforment comme les vecteurs de base.
2) Comment se transforment les indices de rangées?
3) On considère un réseau cubique à faces centrées de repère cristallin a, b, c. Trouver les indices de Miller, dans le repère fondamental (1 1 1), (4 5 7).
4) Même question pour les rangées [0 1 1] et [1 2 3]