5) Par rapport à un repère orthonormé OXY, les vecteurs fondamentaux sont définis par:

a= 2X                 b = X + 2Y

1) Calculer la distance inter-rangée [h k].
2) Calculer la distance inter-réticulaire d₃₂.
3) Trouver les vecteurs fondamentaux A et B du réseau réciproque.
4) vérifier que le vecteur G₃₂ = 3A + 2B est perpendiculaire au plan (3, 2) et que le module de G₂₃ est égal à 2p/d₃₂

1) Distance inter-rangée

Dans le repère Oab la rangée [h k] est celle qui a pour vecteur directeur ha + kb, elle a donc pour équation:

hy - kx = N           N = 0, ± 1, 2, 3,...

La droite une équation de ce type la plus proche de l'origine est obtenue pour N = 1. Soit un point M de coordonnées (x y) dans le repère Oab et (X Y) dans le repère OXY. On a alors

OM = xa + yb = 2xX + y (X + 2Y) = (2x + y)X + 2yY = XX + YY

d'où

X = 2x + y
Y= 2y

en remplacant x et y dans l'équation de la rangée on obtient son équation dans le repère orthonormé OXY, soit

-k X + (h + k/2)Y = 2               (D)

Le vecteur R (-k , h + k/2) est perpendiculaire D et est vecteur directeur de la droite D' passant par l'origine.

k Y + (h + k/2)X = 0               (D')

Pour trouver la distance inter-rangée il suffit alors de déterminer l'intersection M entre D et D', et de calculer la norme du vecteur OM. Soit à résoudre:

-k X + (h + k/2)Y = 2
k Y + (h + k/2)X = 0

Le systeme admet comme solution:

X = -2k / Det                Y = 2(h + k/2) / Det
avec                      Det = k² + (h + k/2)²

d'où la distance inter-rangée,

2) Calculer la distance inter-réticulaire d₃₂.

Le plan réticulaire (3 ,2) a pour équation dans le repère cristallographique Oab:

3x + 2y = N                 N = 0, ± 1, 2, 3,...

Soit un point M de coordonnées (x y) dans le repère Oab et (X Y) dans le repère OXY. On a alors dans le repère OXY l'équation de (3, 2)

6X + Y = 4N

Le plan le plus proche de l'origine étant celui correspondant à N = 1 (ou N = -1)

Le vecteur U ( 6, 1) est perpendiculaire au plan (3, 2). Il est vecteur directeur de la droite

X - 6Y = 0

Les coordonnées du point d'intersection M entre le plan (3, 2) et la droite précédente sont obtenues en résolvant le système:

X - 6Y = 0
6X + Y = 4

X = 24 / 37           Y = 4 / 37

La distance inter-réticulaire est alors la norme du vecteur OM, soit:

d₃₂ = (x² + y²)^1/2 = 4 / 37^1/2 = 0,657  ( unité XY).

3) Réseau réciproque.

Il est définit par les vecteurs A et B tels que

a . A = 2p         b . A = 0
a . B = 0          b . B = 2p

En posant

A = pX + qY
B = rX + sY

ces relations s'écrivent:

a . A = 2X . (pX + qY) = 2p = 2p          b . A = (X + 2Y) . (pX + qY) = p + 2q = 0
a . B = 2X . (rX + sY) = 2r = 0              b . B = (X + 2Y) . (rX + sY) = r + 2s = 2p

d'où

A = p(X - Y/2)           B = pY

4) Vecteur G₃₂ du réseau réciproque.

Le vecteur V de coordonnées (2, -3) dans le repère Oab est un vecteur du plan (3, 2). En tenant compte des relations précédentes définissant le réseau réciproque

U . G₃₂ = (2a -3b) . (3A + 2B) = 6(a . A - b . B) = 6 ( 2p - 2p) = 0

Le vecteur G₃₂ est perpendiculaire au plan (3 ,2). Sa norme est:

|G₃₂|² = (3A + 2B) . (3A + 2B) = (3p (X - Y/2) + 2pY) . (3p (X - Y/2) + 2pY) = 37p² / 4

|G₃₂| = 2p / d₃₂