2) POLARISATION ET CHAMP DEPOLARISANT (suite)

2. 5 Sphère diélectrique dans un champ électrique uniforme

Cette fois, considérons une sphère diélectrique, de permittivité absolue e_i, plongée dans un milieu extérieur infini de permittivité absolue e_e. On la soumet à un champ électrique uniforme E₀ selon la direction Oz.

Appliquons les relations vues dans le cas d'une ellipsoïde quelconque ( cf. Cas d'une ellipsoïde ). Par raison de symétrie, et en tenant compte de la relation N_x + N_y + N_z = 1, on a

N_x = N_y = N_z = 1/ 3

On en déduit le champ électrique macroscopique résultant dans la sphère diélectrique:

E_p = - (a / 3) P            E_i = E₀ - (a / 3) P = [ 3e_e / ( 2e_e + e_i )] E₀

avec        a = (1/e_e ) [(e_i - e_e ) / (e_i - e₀ )]

Si la sphère est placée dans le vide (e_e= e₀ ), on a

a = 1/ 3e₀

E_p = - (1/ 3e₀ ) P            E_i = E₀ - (1/ 3e₀ ) P = [ 3e₀ / ( 2e₀ + e_i )] E₀
s_p = P. n = (e_i - e₀ ) E_i . n = [ 3e₀(e_i - e₀ ) / ( 2e₀ + e_i )] E₀cos q

E₀ désigne la norme de E₀ et q l'angle entre E₀ et la normale n à la surface de la sphère.

Remarque: L'étude de ce cas particulier est traitée à titre d'exercice dans la rubrique Diélectriques > Exercices > Exercice 2.

2. 6 Cavité sphérique dans un diélectrique

Le cas d'une cavité sphérique creusée dans un milieu diélectrique infini de permittivité e, soumis à un champ électrique polarisant uniforme E₀, apparaît comme un cas particulier du précédent, avec e_e = e et e_i = e₀. On en déduit

P = (e₀ - e₀ ) E_i = 0         et              E_i = [ 3e / ( 2e + e₀ )] E₀

L'approche que nous avons adoptée ne permet pas de retrouver la densité surfacique de charges de polarisation s_p, puisqu'elle ne nous fournit pas les expressions du champ électrique E_e et de la polarisation P_e à l'extérieur de l'ellipsoïde.

L'expression de s_p dans le cas général, d'une sphère diélectrique de permittivité e_i, plongée dans un milieu de permittivité e_e, est

E₀ désigne la norme du champ polarisant E₀ et q l'angle entre E₀ et le vecteur unitaire de la normale n à la surface de la sphère.
(cf. Diélectriques > Exercices> Exercice 2 )

En remplaçant e_i et e_e respectivement par e₀ et e on obtient l'expression de la densité de charges de polarisation sur la surface de la cavité sphérique

s_p = [ 3e₀(e₀ - e ) / ( 2e + e₀ )] E₀ cos q

On peut remarquer que comme e est toujours supérieur à e₀, le signe de s_p est négatif, contrairement au cas précédent d'une sphère diélectrique soumise dans le vide à un champ uniforme ( cf. Sphère diélectrique dans un champ uniforme ).

2. 7 Dipôle ponctuel au centre d'une cavité sphérique

Considérons une cavité sphérique de centre O et de rayon R creusée dans un matériau diélectrique homogène de permittivité absolue e, à l'intérieur de laquelle se trouve un dipôle ponctuel de moment dipolaire p parallèle à Oz, placé au centre.

L'origine des coordonnées étant prise en O, on a une symétrie de révolution autour de l'axe Oz, le problème est donc à deux variables (r, q), r étant la composante radiale et q l'angle entre le vecteur position r et l'axe Oz.

Le diélectrique étant supposé parfait, donc sans charges de conduction, le potentiel de ce système doit vérifier l'équation de Laplace

DV = 0

On peut vérifier que le potentiel

V_e = ( p - aR³ ) cos q / 4pe₀r²                  r ³ R
V_i = ( p - ar³ ) cos q / 4pe₀r²                    r £ R

a étant une constante et q l'angle entre p et le rayon vecteur r, est solution de l'équation de Laplace. V_e se décompose comme la somme des potentiels dûs à deux dipôles de moments dipolaires p et AR³, placés parallèlement à l'axe Oz, au centre de la sphère. Ces potentiels étant eux mêmes des solutions de l'équation de  Laplace, il en est de même pour V_e. De manière similaire V_i se décompose en la somme du potentiel dû à un dipôle p placé parallèlement à l'axe Oz, au centre de la sphère et de celui lié à un champ uniforme, tous deux des solutions de l'équation de  Laplace. V_i est donc lui aussi une solution de l'équation de Laplace. Il reste à déterminer la constante a de telle sorte que les conditions aux limites, en particulier pour r = R, soient vérifiées.

Les fonctions choisies pour décrire le potentiel à l'intérieur et à l'extérieur de la sphère impliquent la continuité de celui-ci en r = R

V_i(r = R) = V_e(r = R)

En l'absence de charges de conduction sur la surface de la sphère, la continuité de la composante radiale de l'induction électrique pour r = R s'écrit

( D_e - D_i ) . u_r = D_ne - D_ni = 0   et  D_e = e E_e         D_i = e₀ E_i                     

( u_r vecteur unitaire radial)

On a donc la relation

soit

           2e ( p - aR³ ) = e₀ ( 2p + aR³ )
a = [(e - e₀ ) / ( 2e + e₀ )] ( 2p / R³ )

On en déduit l'expression du champ électrique à l'intérieur de la sphère

E_i = - grad V_i = E_p + E_d

avec

E_p = ( p / 4pe₀r³ ) ( 2cos q u_r + sin q u_q )
E_d = ( a / 4pe₀ ) ( cos q u_r - sin q u_q )]
= ( 2p / 4pe₀R³ ) [(e - e₀ ) / ( 2e + e₀ )]

( u_r et u_q vecteurs unitaires radial et orthogonal )

E_p est le champ créé par le dipôle en l'absence de diélectrique et E_d est donc le champ dépolarisant de réaction du diélectrique.

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