2) POLARISATION ET CHAMP DEPOLARISANT

2. 1 Introduction

Soumis à un champ électrique polarisant E₀, un échantillon diélectrique se polarise. Cette polarisation est elle même à l'origine d'un champ de "réaction" E_p, appelé champ dépolarisant. En conséquence, le champ macroscopique E_i existant à l'intérieur de l'échantillon est la somme de ces deux contributions.

E_i = E₀ + E_p

Le calcul de ce champ dépolarisant peut s'avérer difficile dans le cas général, nous nous contenterons donc d'en donner l'expression pour une ellipsoïde et d'examiner quelques cas particuliers usuels.

2. 2 Cas d'une ellipsoïde

Considérons un échantillon de diélectrique linéaire homogène et isotrope, de forme ellipsoïdale d'axes Ox, Oy et Oz et de permittivité absolue e_i, plongé dans un milieu infini de permittivité absolue e_e. Lorsque le champ électrique influençant E₀ est uniforme et appliqué parallèlement à l'un de des axes de l'ellipsoïde, la polarisation P dans l'échantillon et le champ dépolarisant E_p sont aussi uniformes et colinéaires à E₀.

si E₀ est parallèle à Ox              E_px = - a_x P              E_i = E₀ - a_x P
si E₀ est parallèle à Oy             E_py = - a_y P             E_i = E₀ - a_y P
si E₀ est parallèle à Oz              E_pz = - a_z P              E_i = E₀ - a_z P

a_x, a_y, a_z sont les facteurs dépolarisants selon les directions Ox, Oy et Oz. Ces facteurs vérifient

a_x + a_y + a _z = (1/e _e ) [(e _i - e_e ) / (e_i - e ₀ )]

ou encore, en posant

a_x = N_xa      a_y = N_ya       a_z = N_za
et    a = (1/e_e ) [(e _i - e_e ) / (e_i - e ₀ )]

si E₀ est parallèle à Ox              E_px = - N_xa P              E_i = E₀ - N_xa P
si E₀ est parallèle à Oy              E_py = - N_ya P              E_i = E₀ - N_ya P
si E₀ est parallèle à Oz              E_pz = - N_za P              E_i = E₀ - N_za P

avec

N_x + N_y + N_z = 1

Ou encore, en remplaçant P par son expression en fonction de E_i

P = (e_i - e₀ ) E_i       (cf. Permittivité et susceptibilité diélectriques)

E_i = E₀ - Na (e_i - e₀ ) E_i = E₀ - N[(e_i - e_e ) /e_e ] E_i

Avec N = N_x, N_y ou N_z selon que E₀ soit parallèle à Ox, Oy ou Oz

En termes de charges de polarisation, dans les conditions précédentes, le champ dépolarisant ne peut être attribué qu'aux charges surfaciques, puisque la polarisation P étant uniforme dans l'échantillon, la densité volumique de charges de polarisation est nulle ( r_p = - div Pcf. Charges de polarisation ). La densité surfacique de charges de polarisation est alors

s_p = P. n = ( P - P_e ). n
P = (e_i - e₀ ) E_i                P_e = (e_e - e₀ ) E_e

E_e et P_e étant respectivement les vecteurs champ et polarisation à l'extérieur de l'ellipsoïde. Dans le cas général on ne peut confondre E_e et E₀, puisque près de l'ellipsoïde, le champ électrique dépend aussi de l'influence cette dernière. Néanmoins, lorsque le milieu extérieur est le vide P_e est nulle et par suite la densité surfacique de charge ne dépend que de P_i. On a alors, en remplaçant E_i par son expression

2. 3 Lame diélectrique dans un champ électrique uniforme

Considérons une lame diélectrique, perpendiculaire à l'axe Oz et infinie dans le plan Oxy, constituée d'un matériau diélectrique parfait de permittivité absolue e_i. Supposons qu'elle soit disposée dans un milieu infini de permittivité absolue e_e et soumise à un champ électrique uniforme E₀.

Appliquons les relations vues dans le cas d'une ellipsoïde quelconque ( cf. Cas d'une ellipsoïde ). Par raison de symétrie, on a

N_x = N_y # N_z

Si le champ E₀ est orienté selon Ox ou Oy ( parallèle au plan de la lame ), les charges surfaciques de polarisation sont infiniment éloignées. Elles ne créent donc pas de champ électrique additionnel dans le diélectrique. Ce qui conduit à adopter

N_x = N_y = 0

et donc, comme N_x + N_y + N_z = 1

N_z = 1

On en déduit le champ électrique macroscopique résultant dans la lame:

pour E₀ parallèle à Ox (ou Oy)                      E_p = 0            E_i = E₀
pour E₀ parallèle à Oz             E_p = - a P            E_i = E₀ - a P = (e_e /e _i ) E₀

avec        a = (1/e _e ) [(e_i - e_e ) / (e _i - e₀ )]

Si la lame diélectrique est placée dans le vide (e_e= e₀ ), on a

a = 1/e₀

pour E₀ parallèle à Ox (ou Oy)                         E_p = 0            E_i = E₀

pour E₀ parallèle à Oz             E_p = - (1/e₀ ) P            E_i = E₀ - (1/e₀ )P = (e₀ /e_i ) E₀
s_p = P. n = (e_i - e₀ ) E_i . n = (e₀ /e_i ) (e_i - e₀ ) E₀

( E₀ norme de E₀ )

Remarques: L'étude d'une lame diélectrique soumise, dans le vide, à une champ électrique uniforme est traitée à titre d'exercice dans la rubrique: Diélectriques > Exercices > Exercice 3.

2. 4 Cylindre diélectrique dans un champ électrique uniforme

Considérons maintenant un cylindre diélectrique de longueur infinie, dont l'axe principal est parallèle à l'axe Oz. Soit e_i la permittivité absolue du cylindre et e_e celle du milieu extérieur dans lequel il est plongé. On soumet le cylindre à un champ électrique uniforme E₀.

Appliquons les relations vues dans le cas d'une ellipsoïde quelconque ( cf. Cas d'une ellipsoïde ). Par raison de symétrie, on a

N_x = N_y # N_z

Si le champ E₀ est orienté selon Oz ( parallèle à l'axe principal du cylindre ), les charges surfaciques de polarisation sont infiniment éloignées. Elles ne créent donc pas de champ électrique additionnel dans le diélectrique. Ce qui conduit à adopter

N_z = 0

et donc, comme N_x + N_y + N_z = 1

N_x = N_y = 1/ 2

On en déduit le champ électrique macroscopique résultant dans le cylindre:

pour E₀ parallèle à Oz          E_p = 0         E_i = E₀                       
pour E₀ perpendiculaire à Oz        E_p = - (a / 2) P                   
E_i = E₀ - (a / 2) P = [ 2e_e / (e_e + e _i )] E₀

avec        a = (1/e _e ) [(e_i - e _e ) / (e_i - e ₀ )]

Si le cylindre est placé dans le vide (e_e = e₀ ), on a

a = 1/ 2e₀

pour E₀ parallèle à Ox (ou Oy)                 E_p = 0            E_i = E₀

pour E₀ perpendiculaire à Oz                             E_p = - (1/ 2e₀ ) P
E_i = E₀ - (1/ 2e₀ ) P = [ 2e₀ / (e ₀ + e_i )] E₀
s_p = P. n = (e _i - >e₀ ) E_i . n = [ 2e₀(e_i - e₀ ) / (e₀ + e_i )] E₀cos q

E₀ désigne la norme de E₀ et q l'angle entre E₀ et la normale n à la surface du cylindre.

Suite - Symétrie sphérique ==>