4) Le tenseur diélectrique [e] relie l'induction électrique D au champ électrique appliqué E:

     D = [e] E                    soit:    D_i = å e_ij E_j            i = 1,2,3 ; j = 1,2,3

   Pour un champ électrique de direction donnée, on mesure l'induction électrique D_E dans la même direction et la constante diélectrique | e | du cristal pour cette direction est telle que
D_E = | e | E.

1) Exprimer | e | en fonction des coefficients e_ij du tenseur de permittivité. On caractérisera la direction de mesure par ses cosinus directeurs.
2) Application:

Calculer la permittivité dans la direction [321].

1) Permittivité

L'induction diélectrique D est liée au champ électrique E par la relation tensorielle:

D_i = e^ij E_j         où e^ij est la composante ij du tenseur de permittivité.

soit donc les relations:
                                              D₁ = e¹¹ E₁ + e ¹² E₂ + e¹³ E₃
                                              D₂ = e²¹ E₁ + e²² E₂ + e²³ E₃
                                              D₃ = e³¹ E₁ + e ³² E₂ + e³³ E₃

D_E est la projection de D sur la direction de E, on a donc:

soit en notation tensorielle

lⁱ et l^j sont les cosinus directeurs de E. On a donc

| e | = (1/|E|²)[ e₁₁ (E₁)² + e₂₂ (E₂)² + e₃₃ (E₃)² + (e₁₃ + e ₃₁)E₁E₃ + (e₁₂ + e₂₁)E₁E₂
+ (e₂₃ + e₃₂)E₂E₃]
      = e₁₁ (l₁)² + e₂₂ (l₂)² + e₃₃ (l₃)² + (e₁₃ + e₃₁)l₁l₃ + (e₁₂ + e₂₁)l₁l₂ + (e₂₃ + e₃₂)l₂l₃

Dans le cas d'un cristal quadratique le tenseur de permittivité s'écrit:

donc dans la direction [321] on a

| e | = (1/|E|²)[ e₁₁ (E₁)² + e₂₂ (E₂)² + e₃₃ (E₃)²] = e₁₁ (l₁)² + e₂₂ (l₂)² + e₃₃ (l₃)²
        = a [ (l₁)² + (l₂)² ] + b (l₃)² )]

la direction de la rangée [321] est donnée par le vecteur n = 3a + 2b + c, dont les cosinus directeurs sont:

d'où