1) Soit un milieu cristallin diélectrique à polarisation permanente. Les dipoles ont, exclusivement, une orientation parallèle ou antiparallèle au champ appliqué E. Il y a N dipoles par unité de volume et chaque dipole a un moment permanent p. Les probabilités de passage du niveau d'énergie W₁ au niveau W₂ (et réciproquement de W₂ à W₁), par suite de l'agitation thermique, sont égales à p₁₂ et p₂₁.

        1) Donner l'équation d'évolution des populations n₁ et n₂ des niveaux W₁ et W₂. Ecrire que le système est en équilibre et que n₁ et n₂ obéissent à la loi de distribution de Boltzmann. En déduire p₁₂ et p₂₁.
        2) Donner l'évolution du vecteur polarisation en fonction du temps si on applique, à l'instant t = 0, un champ électrique continu E = E₀i. Les moments permanents sont en général tels que ( pE₀ / kT ) est petit devant l. On confondra par ailleurs champ local et champ appliqué.
         3) Quelle forme peut-on donner en régime permanent à la polarisabilité si E est une fonction sinusoïdale du temps. En déduire e_r que l'on donnera sous la forme: e_r = e' - je''.

1) Evolution des populations

L'énergie d'un dipôle de moment p dans un champ électrique uniforme E = E₀i est donnée par:

W = - p . E

Les dipoles ayant deux orientations possibles, parallèle ou anti-parallèle au champ, et le champ local étant confondu avec le champ appliqué, les énergies possible de ces derniers sont donc:

W₁ = - p . E = - pE₀                  lorsque p est parallèle à E
W₂ = - p . E = pE₀                    lorsque p est anti-parallèle à E

En suppposant que le système suit la loi de distribution de Boltzmann, à l'équilibre thermique on peut écrire les nombres n₁ et n₂ de dipoles par unité de volume respectivement d'énergie W₁ et W₂, sous la forme:

n₁ = C e^x
n₂ = Ce^-x

avec x = pE₀ / kT
C est une constante, k la constante de Boltzmann et T la température.

Les variations de n₁ et n₂ peuvent s'écrire:

dn₁(t) = p₂₁n₂(t)dt - p₁₂n₁(t)dt
dn₂(t) = p₁₂n₁(t)dt - p₂₁n₂(t)dt  

où p₂₁ et p₁₂ sont respectivement les probabilités de passage des dipoles de l'état d'énergie W₂ vers celui d'énergie W₁, et de l'état d'énergie W₁ vers l'état d'énergie W₂.

A l'équilibre thermodynamique,

dn₁(t) = dn₂(t) = 0

d'où

p₁₂n₁(t) - p₂₁n₂(t) = 0

n₁/n₂ = p₂₁/p₁₂ = e^2x

Les équations différentielles précédentes peuvent donc s'écrire

dn₁(t) = - p₁₂[ n₁(t)dt - n₂(t)e^2x ]
dn₂(t) = p₁₂ [ n₁(t)dt - n₂(t)e^2x ]

2) Evolution du vecteur polarisation

La polarisation est le moment dipolaire par unité de volume, elle est égale à:

P = (n₁ - n₂ ) p

Son évolution est donnée par celle de la différence des populations (n₁ - n₂ ). A partir des deux équations différentielles précédentes on obtient:

d (n₁ - n₂ )/dt = -2p₁₂ [ n₁ - n₂e^2x ]
                           = - 2p₁₂ e^x [ n₁e^-x - n₂e^x ]

avec x << 1   e^x » 1 + x      et   e^-x » 1 - x     d'où

d (n₁ - n₂ )/dt » - 2p₁₂ e^x [ n₁(1 - x) - n₂ (1 + x) ]
= - 2p₁₂ e^x [ (n₁ - n₂ ) - (n₁ + n₂ ) x ]
             = - 2p₁₂ e^x [ (n₁ - n₂ ) - Nx ]

On a donc à résoudre une équation différentielle de le forme:

dy(t)/dt + Ay(t) = C

avec y = n₁ - n₂
         A = 2p₁₂ e^x
         C = 2p₁₂ Nxe^x

Cette équation admet des solutions de la forme:

y(t) = y₀e^-At + (C/A)

à t = 0 ; y(t) = 0  ( en l'absence de champ appliqué n₁ = n₂ ) donc

y₀ = - C/A

et

y(t) = (C/A) ( 1 - e^-At ),

soit en posant t = 1/A

y(t) = Nx [ 1 - e^-t/t ]

On en déduit la polarisation

P = (n₁ - n₂ ) p = P₀ [ 1 - e^-t/t ]

avec P₀ = (Np²E₀ / kT) i           ( i vecteur unitaire selon E )

3) Polarisabilité pour E sinusoïdal

Si E est une fonction sinusoïdale du temps, E = E₀ e^jwti, l'équation différentielle à résoudre devient:

dy(t)/dt + Ay(t) = Ce^jwt

peut s'écrire sous la forme de la solution générale de l'équation sans second membre et d'une solution particulière, soit:

y(t) = y₀e^-t/t + Ke^jwt

En remplaçant y(t) par son expression dans l'équation différentielle on obtient:

K = Ct / (1 + jwt ) = NpE₀ / kT (1 + jwt )

Et comme précédemment en posant à t = 0 ; y(t) = 0

y₀ = - K

d'où

On en déduit la polarisation  P = ( n₁ - n₂ ) p

En régime permanent le terme en e^-t/t devient négligeable et l'évolution de la polarisation se réduit à

En confondant le champ local et le champ macroscopique on obtient la polarisabilité

P = N p = Na E_loc = Na E = Na E₀ e^jwti

soit,

et pour la permittivité complexe

P = e₀ (e_r - 1) E

soit