3) Les électrons de valence du lithium, un par atome, se comportent comme s'ils étaient libres. Le nombre d'électrons par unité de volume est de n = 4,7 10²²e/cm³.

1) Déterminer l'énergie de Fermi du lithium.
2) Calculer sa température de Fermi ainsi que la vitesse des électrons sur la surface de Fermi.
3) La résistivité étant de l'ordre 10^-5Wcm à température ambiante, quel est le temps de relaxation t et le libre parcours moyen p des électrons de conduction.

1) Energie de Fermi

Dans un volume L³, la densité d'états de vibration d'une particule de masse m au voisinage de l'énergie E, est donnée par

g(E) = 2p (L/h)³(2m)^3/2 E^1/2

(cf. Ex.1et Ex.2)

Un électron pouvant occuper 2 états de spin différents la densité d'états au voisinage de E est pour un gaz d'électrons

g_e(E) = 2g(E) = 4p (L/h)³(2m)^3/2 E^1/2

L'énergie de Fermi e_F est définie de telle sorte qu'à O°K tous les états soient occupés jusqu'à e_F. On a donc, à O°K et pour N électrons,

D'où, en appelant n = N/L³, le nombre d'électrons par unité de volume

e_F = (h²/8m)[3N/p L³]^2/3 = (h²/8m)[3n/p]^2/3

AN: e _F = 4,72ev

2) Température de Fermi et vitesse

La température de Fermi est définie par

kT_F =ne_F

AN: T_F =54,8 10³ °K

Les électrons étant libres, l'énergie est uniquement cinétique, d'où

AN: v_F = 1288 km/s

Remarque: Cette vitesse aléatoire de Fermi est beaucoup plus grande que la vitesse d'entrainement des électrons de conduction.

j = sE = E/r = -nev_e           v_e = 0,133 cm/s

3) Temps de relaxation et libre parcours moyen

Si v est la vitesse de déplacement de la sphère de Fermi, la relation fondamentale de la dynamique peut s'écrire

En intégrant il apparait qu'après un temps t, la sphère de Fermi atteind une vitesse

v = -eEt/m

En raison des collisions avec des impuretés, des défauts du réseau, des électrons ou des phonons, la sphère peut être maintenue stationnaire dans le champ électrique. Si on appelle t le temps moyen entre deux collisions, la densité de courant pour n électrons par unité de volume est

j = -nev = ne²Et/m

soit une conductivité et une résistivitéÅ

j = sE           s = ne²t/m       r = 1/s = m/ne²t

Connaissant la résistivité on en déduit le temps de relaxation t et le libre parcours moyen p

t = m/ne²r = 0,76 10^-14s         p = v_Ft » 100Å