2) On considère un solide indéfini dans lequel des particules sont succeptibles de se propager librement en respectant des conditions aux limites périodiques. Il pourrait par exemple s'agir, en négligeant leur spin, d'électrons dans un métal.

1) Déterminer les fonctions d'onde de la particule dans le cas de conditions aux limites périodiques. On supposera que la périodicité est identique selon chacune des directions.
2) Quelles sont les énergies des états stationnaires
3) Déterminer la densité d'états.

1) Fonctions d'onde

SoitY(x, y, z) la fonction d'onde de la particule en coordonnées cartésiennes. Elle doit satisfaire à l'équation de Schrödinger, c'est à dire pour un potentiel V = 0 (propagation libre),

(D opérateur Laplacien)

On cherche des solutions sous la forme d'ondes planes progressives.

Y(x, y, z) = Aexp[i (k₁x + k₂y + k₃z)]

(k₁, k₂, k₃) sont les composantes du vecteur d'onde k. En substituant Y(x, y, z) dans l'équation de Schrödinger, il apparait que

Les conditions aux limites périodiques impose de plus

f₁(x) = f₁(x+L)        f₂(x) = f₂(x+L)          f₃(x) = f₃(x+L)

soit

k₁L = 2pn₁    k₂L = 2pn₂    k₃L = 2pn₃

n₁, n₂, n₃ étant des entiers relatifs.

La fonction d'onde de la particule est donc de la forme

Y(x,y, z) = Aexp[i(2p/L)(n₁²x +n₂²y+n₃²z)]

2) Energies des états stationnaires

En posant

E_n1,n2,n3 = e (n₁² + n₂² + n₃²)

3) Densité d'états

Le nombre N de modes d'énergie inférieure à une valeur donnée E est le nombre de triplets d'entiers (n₁,n₂,n₃) tels que

n₁² + n₂² + n₃² < E/e

Ce qui est équivalent à chercher le nombre de points d'un réseau cubique contenu dans une sphère de rayon R=(E/e)^1/2, soit

N = (4/3)pR³ = (4p/3)(E/e)^3/2

La densité de modes est donc

g(E) = dN/dE = 2p e^-3/2E^1/2 = 2p (L/h)³(2m)^3/2 E^1/2

Le résultat est le même que celui obtenu pour des conditions aux limite fixes. (cf. Ex.1)