1) On considère une particule de masse m soumise à une énergie potentielle nulle à l'intérieur d'une boite cubique de coté L. L'origine O des coordonnées est prise sur un des sommets et le potentiel est infini à l'extérieur.

1) Déterminer les fonctions d'onde de la particule dans le cas de conditions aux limites fixes.
2) Quelles sont les énergies des états stationnaires
3) Donner les énergies et les dégénérescences des premiers niveaux?
4) Déterminer l'expression de la densité d'états.
5) Montrer qu'on peut retrouver la densité d'états à partir de l'approche classique.

1) Fonctions d'onde

SoitY(x, y, z) la fonction d'onde de la particule en coordonnées cartésiennes. Le potentiel étant infini à l'extérieur, Y(x, y, z) est nulle à l'extérieur de la boite et doit satisfaire à l'équation de Schrödinger à l'intérieur. C'est à dire pour un potentiel V = 0 à l'intérieur de la boite:

(D opérateur Laplacien)

Pour résoudre cette équation on peut utiliser la méthode de séparation des variables en posant

Y(x, y, z) = f₁(x)f₂(y)f₃(z)

et en substituant dans l'équation de Schrödinger, puis en divisant les deux membres de l'équation par f₁(x)f₂(y)f₃(z) on obtient

Les variables x, y et z étant indépendantes, cette équation ne peut être satisfaite que si on a:

avec

On cherche des solutions sous la forme

f₁(x) = A₁ cos k₁x + B₁ sin k₁x
f₂(y) = A₂ cos k₂y + B₂ sin k₂y
f₃(z) = A₃ cos k₃z + B₃ sin k₃z

Les conditions aux limites fixes,

f ₁(0) = f₂(0) = f₃(0) = 0
f₁(L) = f₂(L) = f₃(L) = 0

imposent

A₁ = A₂ = A₃ = 0
k₁L = n₁p    k₂L = n₂p    k₃L = n₃p

n₁, n₂, n₃ étant des entiers > 0.

La fonction d'onde de la particule est donc de la forme

Comme on a de plus la relation

qui traduit que la particule est astreinte à se déplacer dans la boite, on a>

B₁B₂B₃ = (2/L)^3/2

2) Energies des états stationnaires

En posant

                      E_{n1, n2, n3}= e (n₁² + n₂² + n₃²)

3) <3>Energies et dégénérescences des premiers niveaux

Les énergies E_{n1, n2, n3} et dégénérescences g et les fonctions d'ondes sorrespondantes des premiers niveaux sont

iveau 1:  E_1,1,1 = 3e    g = 1     Y_1,1,1
niveau 2:  E_2,1,1 = 6e    g = 3     Y_2,1,1 Y_1,2,1 Y_1,1,2
niveau 3:  E_2,2,1 = 9e    g = 3     Y_2,2,1 Y_1,2,2 Y_2,1,2
niveau 4:  E_3,1,1 = 11e   g = 3    Y_3,1,1 Y_1,3,1 Y_1,1,3
niveau 5:  E_2,2,2 = 12e   g = 1    Y_2,2,2
niveau 6:  E_1,2,3 = 14e   g = 6    Y_1,2,3 Y_1,3,2 Y_2,1,3 Y_2,3,1 Y_3,1,2 Y_3,2,1

4) Densité d'états

Le nombre N d'états d'énergie inférieure à une valeur donnée E est le nombre de triplets d'entiers positifs (n₁, n₂, n₃) tels que

n₁² + n₂² + n₃² < E/e

Ce qui est équivalent à chercher le nombre de points d'un réseau cubique contenu dans le quadrant n₁,n₂,n₃>0 d'une une sphère de rayon R=(E/e)^1/2, soit

La densité d'états est donc

5) Approche classique

Le volume occupé dans l'espace des phases par les états dont l'énergie est inférieure à E est donné par

p_x, p_y, p_z sont les composantes de l'impulsion. En appelant v le volume occupé dans l'espace des phases par un seul état, le nombre d'états d'énergie inférieure à E est

N = v_j/v

La densité d'états est alors

Le résultat est identique à celui obtenu lors de l'approche quantique à condition d'avoir

v = h³