1) ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS

1. 1 Introduction

Dans un volume de matière on peut séparer les porteurs de charges en deux catégories: les charges fixes, animées d'un mouvement de vibration autour d'une position moyenne déterminée, et les charges de conduction, encore appelées charges libres, qui peuvent se déplacer dans tout le volume de matière. Dans un métal cristallin, par exemple, la première catégorie est constituée des ions, disposés périodiquement en chacun des noeuds du réseau, et la seconde d'électrons, issus de l'ionisation, qui ne sont liés à aucun atome particulier et qui sont capables de se déplacer dans tout le réseau. Ces derniers sont les électrons de conduction ou électrons libres.

On distingue alors les isolants, dans lesquels toutes les charges sont localisées, des conducteurs qui contiennent un grand nombre de charges de conduction, susceptibles de se mettre en mouvement sous l'action d'un champ électrique.

1. 2 Equilibre électrostatique

On considère qu'un conducteur est à l'équilibre électrostatique lorsque la répartition des charges qu'il contient est indépendante du temps. Cela ne signifie que la vitesse moyenne des charges, et en particulier des charges libres, est nulle.

A l'intérieur d'un conducteur, le champ électrique n'est pas défini en tout point M où se trouve une charge. Il est donc difficile de définir précisément le champ électrique moyen dans le volume élémentaire dt entourant le point M. Néanmoins, on admettra l'existence d'un champ électrique moyen macroscopique E(M), en tout point M du conducteur.

Une charge libre q située au point M est soumise à la force moyenne

F = qE(M).

(cf. Relations fondamentales)

Sous l'action de cette force la charge libre se déplace donc dans le sens de E(M) s'il s'agit d'une charge positive ou dans le sens inverse s'il s'agit d'une charge négative. Ceci entraîne que l'équilibre électrostatique n'est possible que si le champ dans le conducteur est nul.

E(M) = 0

Si V(M) est le potentiel scalaire duquel dérive E(M),

E(M) = - grad V(M)

(cf. Champ magnétique indépendant du temps)

E(M) étant nul en tout point M, V(M) est constant dans l'ensemble du conducteur à l'équilibre électrostatique. En particulier, la surface délimitant le conducteur est une équipotentielle. On en déduit que le champ électrique, en un point extérieur infiniment proche de la surface du conducteur, est normal à cette surface.

(cf. Analyse vectorielle > Vecteur gradient)

1. 3 Répartition de la charge électrique

Considérons un conducteur occupant dans l'espace un volume V que délimite la surface fermée S, et notons r(M) la densité volumique totale de charges, qu'elles soient libres ou fixes, en un point M de V. D'après les équations de Maxwell on a en tout point

div E(M) = r(M)

Le champ électrique macroscopique E(M) étant nul en tout point du conducteur à l'équilibre électrostatique, il en est de même pour la densité volumique de charges:

r(M) = 0

Il existe pourtant des conducteurs chargés en équilibre. La charge ne pouvant être distribuée dans le volume du conducteur, elle ne peut être répartie que sur sa surface S. Déterminer l'équilibre électrostatique du conducteur revient donc à déterminer la densité surfacique de charges sur S, sa surface extérieure.
Un conducteur métallique, dont les charges libres sont des électrons, est chargé négativement lorsqu'il porte en surface un exces d'électrons, et à l'inverse, il est chargé positivement lorsque sa surface présente un défaut d'électrons.

1. 4 Champ électrique au voisinage d'un conducteur

Considérons un conducteur chargé à l'équilibre électrostatique, M un point de sa surface S et s(M) la densité surfacique de charges en M. On sait, d'après ce qui précède, que le champ électrique est nul à l'intérieur du conducteur et normal à sa surface à son voisinage immédiat (cf. §1.2).
Notons E(P) le champ électrique en P, un point extérieur infiniment proche de M et n le vecteur unitaire, orienté vers l'extérieur du conducteur, normal à S au point M. Les conditions de passage à la limite entre deux milieux imposent dans ce cas

E(P) = s(M) /e₀ n

Au passage de la surface du conducteur le champ électrique est normal à la surface et subit une discontinuité s(M) /e₀. Cette relation constitue le théorème de Coulomb.

La normale n étant orientée vers l'extérieur du conducteur, E(P) est dirigé vers le conducteur lorsque la densité surfacique de charges s(M) est négative et vers l'extérieur du conducteur lorsque s(M) est positive. En d'autres termes, le potentiel scalaire duquel dérive E(P), décroît des régions de l'espace chargées le plus positivement vers les régions chargées le plus négativement.
(cf. Analyse vectorielle > Vecteur gradient)

1. 5 Capacité dun conducteur isolé

Considérons un conducteur chargé, limité par la surface S, à l'équilibre électrostatique et isolé dans l'espace. On a montré que, dans ces conditions, la charge électrique Q qu'il porte est répartie sur sa surface et que le potentiel V(P) est le même en tout point M du conducteur:

V(P) = V

Si on note s(M) la densité de charges au point M de la surface S et que le potentiel est supposé nul à l'infini, en tout point P du conducteur on a les relations

où dS est l'élément de surface entourant le point M.

Il apparaît que pour un conducteur donné, défini par sa surface S, à une densité surfacique de charges s(M) correspond des valeurs uniques de potentiel et de charge. Il existe donc une relation linéaire biunivoque entre la charge et le potentiel d'un conducteur isolé à l'équilibre électrostatique:

Q = CV

Le coefficient C ne dépend que de la forme du conducteur, c'est la capacité du conducteur. Si Q est exprimée en Coulomb et V en Volt, l'unité de capacité sera le Farad (F).

1. 6 Equilibre électrostatique d'un système de conducteurs

Soit un système de n conducteurs C₁, C₂, ..., C_n à l'équilibre électrostatique, répartis dans l'espace et portant respectivement les charges électriques Q₁, Q₂, ..., Q_n. Appelons S_j la surface limitant le conducteur C_j, V_j son potentiel et s_j(M_j ) la densité surfacique de charges en un point M_j de S_j. On suppose que le potentiel est nul à l'infini et que la partie de l'espace non occupée par les conducteurs ne contient aucune charges.

A l'équilibre électrostatique, le potentiel V_i du conducteur C_i peut s'écrire:

P_i est un point du conducteur C_i, et dS_j l'élément de surface entourant le point M_j de S_j. La charge Q_j, sur la surface du conducteur C_j, est quant à elle donnée par

Pour un ensemble de conducteurs donné, à une série de densités de surface s_j(M_j ) correspond une distribution de charges et de potentiels uniques. Ecrivons donc la charge Q_j du conducteur C_j sous la forme

Les coefficients C_ji ne dépendent que de la forme et de la position des conducteurs.
C_jj est la capacité du conducteur C_j en présence des autres conducteurs. Ce coefficient représente la charge du conducteur C_j porté à un potentiel unité alors que tous les autres sont à un potentiel nul.
C_ji est le coefficient d'influence du conducteur C_i sur le conducteur C_j en présence des autres conducteurs. Il mesure la charge du conducteur C_j lorsque le conducteur C_i est porté à un potentiel unité et que tous les autres sont à un potentiel nul.

Si on éloigne le conducteur C_j des autres, les coefficients C_ji tendent tous vers zéro sauf C_jj qui tend vers la capacité propre du conducteur C_j.

Remarque: La relation précédente et donc l'équilibre électrostatique des n conducteurs, peut aussi se décrire par la relation matricielle

Les termes diagonaux sont les capacités et les termes non-diagonaux les coefficients d'influence en présence des autres conducteurs.

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