1) CHAMPS, INDUCTIONS ET POTENTIELS MAGNETIQUES (suite)

1. 8 Solénoïde de longueur finie

Un solénoïde est un enroulement cylindrique de spires jointives de fil fin. Considérons donc un solénoïde de longueur finie 2d et de rayon R, parcouru par un courant continu i et dont l'axe est parallèle au vecteur unitaire k orienté comme indiqué sur la figure ci-dessous. L'origine des coordonnées est prise au point O de l'axe situé au centre du solénoïde.

Le solénoïde peut être considéré comme la réunion de N spires jointives parcourues par le même courant i, délimité par les spires de centres O₁d'abcisse -d et O₂ d'abcisse d. En application du théorème de superposition, l'induction magnétique sur son axe est la somme des inductions crééent par chacunes de spires qui le constituent. Ces inductions étant toutes parallèles à k, la résultante est aussi parallèle à k.
Si n est le nombre de spires par unité de longueur (N = 2nd), le nombre de spires comprises entre les abcisses x et x + dx de l'axe est ndx. Connaissant l'expression de l'induction créée par une spire circulaire, on peut écrire que les ndx spires de cet élément de longueur produisent en un point P de l'axe d'abcisse x_p (OP = x_pk), une induction magnétique d'amplitude

On obtient l'induction magnétique due à l'ensemble du solénoïde par intégration, soit

Posons

x_p - x = R tan q       et donc dx = - Rdq / cos² q

Après ce changement de variable l'intégrale précédente s'écrit

avec q₁ et q₂ tels que

x_p - d = R tan q₁       et       x_p + d = R tan q₂

Soit donc une induction magnétique totale en un point P de l'axe du solénoïde

{tan²q = sin²q (1 + tan²q )}

et donc, avec B(P) = m₀H(P), un champ magnétique total

1. 9 Solénoïde de longueur infinie

En toute rigueur, un tel solénoïde ne peut bien sûr pas exister. Toutefois il constitue une bonne approximation d'un solénoïde dont le rayon est petit par rapport à sa longueur.

L'induction magnétique B(P) et le champ magnétique H(P) en un point P de l'axe d'un solénoïde de longueur infinie s'obtiennent par passage à la limite des relations établies pour un solénoïde de longueur finie. Les expressions ci-dessus (§ 1.8 ) expriment l'induction et le champ créés en un point P d'abcisse x_p, situé sur l'axe d'un solénoïde de longueur 2d, délimité par les spires de centres O₁(-d ) et O₂(d ) et de rayon R.
Donc, en faisant tendre d vers l'infini, on obtient l'induction et le champ magnétiques en un point P de l'axe d'un solénoïde de longueur infinie,

B(P) = m₀ni k           H(P) = ni k

Considérons maintenant un point M hors de l'axe du solénoïde, à l'intérieur ou à l'extérieur de ce dernier. Le plan passant par M et perpendiculaire à l'axe étant un plan de symétrie du courant, l'induction magnétique B(M) en M est nécessairement perpendiculaire à ce plan et par conséquent parallèle à l'axe du solénoïde. De plus, le système étant invariant par translation parallèle à l'axe et par rotation autour de celui-ci, B(M) ne peut dépendre que de la distance r de M à l'axe du solénoïde. Le même raisonnement s'applique bien sûr au champ magnétique H(M).

Ces remarques étant faites, étudions les cas d'un point M à l'intérieur puis à l'extérieur d'un solénoïde infiniment long.

     a) M à l'intérieur d'un solénoïde de longueur infinie

Soit un parcours rectangulaire MNPQ tel que les segments parallèles MN et PQ soient respectivement à l'intérieur et sur l'axe du solénoïde.

Le courant traversant le parcours MNPQ est nul et le théorème d'Ampère s'écrit dans ce cas

B(M). MN + B(P). PQ = B(M) ||MN|| - m₀ni ||QP|| = 0

où B(M) = B(M) k.

Comme ||MN|| = ||QP||, on en déduit que l'induction et le champ magnétiques en M sont

B(M) = m₀ni k         H(M) = ni k

A l'intérieur d'un solénoïde de longueur infinie, l'induction et le champ magnétiques sont constants.

     b) M à l'extérieur d'un solénoïde de longueur infinie

Considérons cette fois un parcours rectangulaire tel que les segments parallèles MN et PQ soient respectivement à l'extérieur et sur l'axe du solénoïde.

Si n est le nombre de spires par unité de longueur, le courant traversant le parcours MNPQ est dans ce cas ni ||MN||. Le théorème d'Ampère s'écrit donc

B(M). MN + B(P). PQ = B(M) ||MN|| - m₀ni ||QP|| = m₀ni ||MN||

avec B(M) = B(M) k.

Ici aussi ||MN|| = ||QP|| et donc l'induction et le champ magnétiques en M sont nuls.

B(M) = H(M) = 0

A l'extérieur d'un solénoïde de longueur infinie, l'induction et le champ magnétiques sont nuls.

Intéressons nous maintenant au potentiel vecteur A(M) duquel dérive l'induction magnétique et pour celà considérons un repère cylindrique unitaire ( O, u_r, u_q, k) tel que O soit un point de l'axe du solénoïde et k le vecteur unitaire parallèle à cet axe et orienté dans le sens de l'induction magnétique B(M) créée par le courant i dans les spires du solénoïde.

Le système étant invariant par translation parallèle à l'axe et par rotation autour de celui-ci,
A(M) ne peut dépendre que de la composante radiale r de M. De plus, le solénoïde étant de longueur infinie et le courant i dans les spires étant selon u_q, A(M) est lui aussi selon u_q. On cherche donc un potentiel vecteur sous la forme

A(M) = A(r) u_q

Il est lié à l'induction magnétique B(M) par la relation

B(M) = rot A(M)

B(M) étant parallèle à k et ne dépendant que de r, cette relation s'écrit

(cf. Analyse vectorielle > Coordonnées cylindriques )

En remplaçant B(M) par sa valeur, on obtient

     a) M à l'intérieur d'un solénoïde de longueur infinie

A(r) = (m₀ni / 2) r + (B / r)

où B est une constante.

Le potentiel vecteur devant être partout défini, en particulier sur l'axe du solénoïde ( r = 0 ), la constante B est nulle, d'où

A(M) = ( m₀ni r / 2) u_q

     b) M à l'extérieur d'un solénoïde de longueur infinie

A(r) = C / r

où C est une constante.

Le potentiel vecteur doit être partout continu, en particulier en r = R, R étant le rayon du solénoïde. On a donc

m₀niR / 2 = C / R
C = m₀niR²/ 2

et le potentiel vecteur a pour expression

A(M) = (m₀niR²/ 2r) u_q

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