1) CHAMPS, INDUCTIONS ET POTENTIELS MAGNETIQUES (suite)

1. 5 Fil rectiligne de longueur finie

Considérons un fil rectiligne de longueur finie ||AB||, parallèle au vecteur unitaire k, parcouru par un courant constant d'intensité i et dM = dMk le déplacement élémentaire du point M sur le fil. La loi de Biot et Savart nous apprend que l'induction magnétique induite par le segment dM en un point P extérieur au fil s'exprime par

où u est le vecteur unitaire colinéaire à MP, u = MP/ ||MP||.

Quelque soit le point M considéré, dB(P) a une direction constante, perpendiculaire au plan défini par les vecteurs dM et MPet orienté comme indiqué sur la figure ci-dessus. La somme vectorielle se ramène donc à une somme scalaire sur dM. Introduisons les angles

q = (PO, PM), q₁ = (PO, PA), q₂ = (PO, PB)

et la distance a = ||OP|| entre le point P et le fil. On a alors

||MP|| = a /cos q       ||OM || = a tan q        dM = (a /cos² q ) dq

et par conséquent dB(P) s'écrit

avec u_q = k x u, et l'induction magnétique B(P) due à la totalité du fil

Si le fil est de longueur infinie, les points A et B sont rejetés à l'infini et les angles prennent respectivement les valeurs

q₁ = - p /2          q₂ = + p /2

L'induction et le champ magnétiques ont dans ce cas pour expressions

{B(P) = m₀H(P)}

On retrouve le résultat établi au paragraphe précédent (cf. § 1.4 ).

1. 6 Spire circulaire

Considérons une spire circulaire C de centre O et de rayon R, parcourue par un courant d'intensité i et dont l'axe Ox est parallèle au vecteur unitaire k orienté comme indiqué sur la figure ci-dessous. On se propose de déterminer l'induction magnétique sur l'axe de la spire.

M étant un point sur la spire, d'après la loi de Biot et Savart, l'induction élémentaire dB(P) créée en un point P de l'axe par l'élément de longueur dM de la spire orienté dans le sens du courant, est donnée par la relation

où u est le vecteur unitaire colinéaire à MP, u = MP/ ||MP||.

Deux éléments de courant symétriques par rapport à O créent en P des inductions élémentaires symétriques par rapport à l'axe de la spire. La somme vectorielle de ces deux inductions élémentaires est donc selon k et l'induction totale en P, due à l'ensemble de la spire, est aussi portée par l'axe Ox. Cette remarque permet de ramener la somme vectorielle à effectuer sur les vecteurs dB(P) à une somme scalaire sur les projections de ces derniers sur l'axe Ox.

Désignons par q l'angle (PO, PM). L'angle entre les vecteurs dB(P) et k est alors de p /2 - q et la projection de dB(P) sur l'axe a pour expression

En intégrant sur toute la longueur de la spire on obtient

En remarquant que

R = ||MP|| sin q        et         ||MP||² = R² + x_p²

où x_p est l'abcisse du point P sur l'axe Ox (OP = x_p k), on peut finalement écrire:

{B(P) = m₀H(P)}

On peut remarquer que la relation précédente peut aussi s'écrire

B(P) = B(O) sin³q

où B(O) = (m₀i / 2R) k est la valeur du champ au centre O de la spire.

1. 7 Bobines de Helmholtz

Considérons deux bobines circulaires C₁ et C₂, de plans parallèles, de même rayon R,dont les centres O₁ et O₂ sont séparés d'une distance 2d et qui sont parcourues par le même courant i. Soient O le point milieu de du segment O₁O₂ et k le vecteur unitaire sur l'axe commun des deux spires, orienté comme indiqué sur la figure ci-dessous.

En un point P de l'axe O₁O₂ tel que OP = x_pk, l'induction magnétique B(P) est la somme des contributions B₁(P) et B₂(P) de chacune des spires:

B(P) = B₁(P) + B₂(P)

D'après l'étude précédente (cf. § 1.6 ) on a donc

et avec B(P) = m₀H(P), le champ magnétique

Le cas particulier ( R = 2d ) du dispositif est connu sous le nom de bobines de Helmholtz. La courbe de variation du module de l'induction magnétique B(P) pour ce cas est représenté sur la courbe ci-dessous.

On constate que l'induction magnétique est quasi-constante sur une région relativement étendue de l'axe autour de O. Cette caractéristique et la simplicité du dispositif en font un outil particulièrement intéressant d'un point de vue pratique. Il permet de soumettre à un champ magnétique uniforme des objets de taille relativement importante.

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