2) ENERGIE MAGNETOSTATIQUE (suite)

2. 8 Localisation de l'énergie magnétostatique

Reprenons le système du paragraphe précédent (distribution volumique de courants filiformes), constitué d'une distribution volumique de circuits filiformes C, chacun étant parcouru par un courant élémentaire d'intensité di.
Dans l'espace E, choisissons une surface sphérique S suffisamment grande pour qu'elle contienne tout les circuits C du système, et appelons V le volume délimité par S. Supposons de plus que le seul champ d'induction agissant est celui dû aux courants du système étudié.

On a vu que cette distribution est équivalente à une distribution volumique de courants caractérisée par son vecteur densité de courant j(M).

A(M) étant le potentiel vecteur magnétique de la distribution au point M, l'expression de l'énergie magnétostatique propre du système est

Remarque: En dehors de la région de l'espace E où sont distribués les circuits filiformes la densité de courants j(M) est nulle. Le volume V et la surface S peuvent donc être étendus autant que nécessaire sans modifier la valeur de W calculée à partir de l'expression ci-dessus.

Soit B(M) le vecteur induction magnétique au point M de la distribution. B(M) est lié au potentiel vecteur A(M) par la relation

B(M) = rot A(M)

En utilisant la relation vectorielle

div [A(M) x B(M)] = B(M). rot A(M) - A(M). rot B(M)

(cf. Analyse Vectorielle > Relations différentielles)

et la quatrième équation de Maxwell

rot [B(M) /m₀ ] = j(M)

(cf. Relations fondamentales)

on peut écrire

div [A(M) x B(M)] = B²(M) - m₀ A(M). j(M)

et donc l'énergie magnétostatique sous la forme

dn est l'élément de volume entourant le point M de la distribution de courants.

En appliquant le théorème d'Ostrogradski à la première intégrale de l'expression, S étant la surface qui limite le volume V, on obtient

où n(P) est le vecteur unitaire normal à S au point P de S.

Si on fait tendre le rayon R de la sphère S vers l'infini, de façon à couvrir tout l'espace E, le produit mixte dans la première intégrale varie en 1/ R et cette première intégrale tend vers zéro.

On peut écrire que l'énergie magnétostatique de la distribution de courants s'exprime par

Tout ce passe comme si on avait une densité volumique d'énergie magnétostatique

w(M) = (1/ 2m₀ ) B²(M)

répartie sur tout l'espace E, et

Ce résultat est comparable à celui obtenu en électrostatique dans le cas d'une distribution volumique de charges ponctuelles.