2) ENERGIE MAGNETOSTATIQUE (suite)

Comme nous avons définit l'énergie électrostatique propre d'une distribution de charges électriques, nous pouvons définir l'énergie magnétostatique propre d'une distribution de courants, en l'absence d'induction magnétique extérieure.

2. 4 Coefficients d'inductance mutuelle

Considérons un système constitué de N circuits fermés filiformes C_i parcourus par des courants d'intensité i_i (i = 1, 2,..., N) et appelons B_i(M) et A_i(M) respectivement les vecteurs induction et potentiel magnétiques qu'ils induisent.

Le flux f_ij de l'induction magnétique B_i(M), créée par C_i, à travers le circuit C_j a pour expression

(cf. Circulation du potentiel vecteur magnétique)

S_j est une surface s'appuyant sur le parcours C_j, dS_j l'élément de surface entourant le point P_j de S_j, n(P_j ) le vecteur unitaire normal à S_j en P_j et dM_j est le déplacement élémentaire du point M_j sur le circuit fermé C_j.

En remplaçant A_i(M_j ) par l'expression du potentiel vecteur créé par un circuit filiforme le flux f_ij on obtient

Soit en posant

f_ij = L_ij i_i

Le terme L_ij est appelé coefficient d'inductance mutuelle des circuits C_i et C_j. La symétrie par rapport aux indices i et j de l'expression précédente montre que

L_ij = L_ji

Le flux total envoyé à travers C_j par l'ensemble des autres courants filiformes C_i s'écrit alors

2. 5 Système de deux courants filiformes

Imaginons un système composé de deux circuits fermés filiformes C₁ et C₂ parcourus par des courants d'intensité i₁ et i₂. Le système est maintenu dans une région de l'espace où il n'existe aucune induction magnétique autre que celles générées par les courants i₁ et i₂.

Le circuit C₂ est plongé dans le champ d'induction magnétique dû au courant i₁. D'après les paragraphes précédents (§ 2.2 et § 2.4), le flux f₁₂ de l'induction magnétique créée par le courant i_l au travers du circuit C₂ et par suite l'énergie du système s'écrivent

f₁₂ = L₁₂ i₁      et       W = i₂ f₁₂ = i₂ L₁₂ i₁

où L₁₂ est le coefficient d'inductance mutuelle entre les circuits C₁ et C₂.

On peut bien sûr de la même manière, dire que le circuit C₁ est plongé dans le champ d'induction magnétique dû au courant i₂. Le flux f₂₁ généré dans le circuit C₁ par le courant i₂ et l'énergie du système sont alors respectivement

f₂₁ = L₂₁ i₂      et       W = i₁ f₂₁ = i₁ L₂₁ i₂

Sachant que L₁₂ = L₂₁ (cf. coefficients d'inductance mutuelle), on obtient la même expression de l'énergie du système constitué par les deux circuits C₁ et C₂.

W = L₂₁ i₁i₂

On peut symétriser l'expression de l'énergie du système en fonction des flux magnétiques en écrivant:

W = (1/ 2) [i₂ f₂₁ + i₁ f₁₂ ]

2. 6 Distribution discrète de courants filiformes

On peut généraliser le raisonnement précédent au cas d'une distribution discontinue de courants filiformes. Considérons donc un système de N circuits fermés filiformes C_i, parcourus par des courants d'intensité i_i  (i = 1, 2,..., N), positionnés hors de tout champ d'induction magnétique autre que ceux dûs aux courants i_i de la distribution.

Le circuit C_j est soumis au champ d'induction magnétique créé par l'ensemble des autres circuits C_i. Le flux magnétique total à travers C_j est donné par

(cf. coefficients d'inductance mutuelle)

L'énergie magnétostatique du sytème est donc

Remarque: Dans les expressions précédentes les termes correspondant à ( i = j ) n'apparaissent pas. L'intégrale définissant les coefficients d'inductance L_ii est divergente dans le cas de courants filiformes et ces coefficients ne sont pas définis.

2. 7 Distribution volumique de courants filiformes

Considérons une distribution volumique de circuits filiformes C, chacun étant parcouru par un courant élémentaire d'intensité di. Cette distribution occupe un volume isolé V de l'espace, de telle sorte que le seul champ d'induction agissant sur la distribution soit celui créé par la distribution elle même.

Pour déterminer l'énergie magnétostatique d'un tel système on peut reprendre le raisonnement du paragraphe précédent en remplaçant la sommation discrète par une intégrale.
Appelons B(M) et A(M) respectivement les vecteurs induction et potentiel crééent par l'ensemble des courants de la distribution.

En utilisant les propriétés de la circulation du potentiel vecteur, le flux f de B(M) à travers la surface S délimité par le circuit C est donnée par

où dS est l'élément de surface entourant le point P de S, n(P) est le vecteur unitaire normale à S au point P et dM le déplacement élémentaire du point M sur le circuit C.

L'extension à une sommation intégrale de l'expression de l'énergie magnétostatique obtenue au paragraphe précédent (§ 2.6 ) conduit à l'expression

L'ensemble des sommations représente une intégrale triple étendue au volume V de la distribution. Introduisons j(M) le vecteur densité de courant tel que

di dM = j(M). dM dS = j(M) dn

où dS et dn sont respectivement les éléments de surface et de volume entourant le point M et dM est le déplacement élémentaire du point M.

L'énergie magnétostatique de la distribution volumique de circuits filiformes s'exprime alors par

La remarque faite au paragraphe concernant l'énergie magnétostatique d'une distribution volumique de courants filiformes dans un champ magnétique reste valable. Une distribution volumique de courants caractérisée par son vecteur densité de courant j(M), peut être assimilée à une distribution de tubes élémentaires de courants, eux même équivalents à des circuits filiformes parcourus chacun par un courant élémentaire d'intensité di = j(M). dS. L'expression précédente nous donne donc de manière générale, l'énergie magnétostatique d'une distribution volumique de courants de densité j(M), isolée de l'influence de tout champ d'induction magnétique autre que celui créé par les courants de la distribution.

Suite - Localisation de l'énergie magnétostatique ==>