2) ENERGIE MAGNETOSTATIQUE

2. 1 Loi de Laplace

Une charge ponctuelle isolée q, en mouvement à la vitesse v(M) dans une région de l'espace ou règne une induction magnétique B(M), est soumise à une force

F = q v(M) x B(M)

(cf. Relations fondamentales)

Soit un élément de conducteur filiforme parcouru par un courant de densité j(M) et délimité par le déplacement dM et la section dS = n(M)dS, tel que n(M) soit unitaire et orienté dans le même sens que j(M). Cet élément est plongé dans un champ d'induction magnétique B(M) indépendant de la densité de courant j(M).

En régime de courant permanent tous les porteurs du volume élémentaire dn = dS. dM, sont animés de la même vitesse v(M). On peut donc considérer que la force dF(M) s'exerçant sur le volume élémentaire dn est la somme vectorielle des forces agissant sur chacun des porteurs de dn. Si p(M) est le nombre de porteurs par unité de volume et q la charge de chaque porteur, la force agissant sur dn s'exprime donc par

dF(M) = p(M)dn [q v(M) x B(M)]

En introduisant la densité volumique de charges r(M) puis la densité de courant j(M) au point M

r(M) = p(M)q               j(M) = r(M) v(M),

la force élémentaire s'exerçant sur dn devient

dF(M) = r(M) v(M) x B dn = j(M) x B(M) dn

Par définition, l'intensité du courant circulant dans le conducteur filiforme s'exprime par

i = j(M). n(M)dS

Les vecteurs dM, n(M) et j(M) étant colinéaires en tout point M, on peut écrire

i dM = j(M). n(M)dS dM = j(M) dM. n(M)dS
= j(M) dn

d'où la nouvelle expression de la force agissant sur l'élément de longueur dM d'un conducteur filiforme

dF(M) = i dM x B(M)

Cette relation est connue sous le nom de loi de Laplace.

Un conducteur filiforme parcouru par un courant d'intensité i constant et s'étendant sur un parcours L sera donc soumis, de la part du champ d'induction magnétique B(M), à une force électromagnétique

2. 2 Courant filiforme dans un champ magnétique

Considérons un circuit filiforme C fermé et indéformable, parcouru par un courant d'intensité i constante, placé dans une région de l'espace où règne une induction magnétique B(M) indépendante du courant i. D'après le paragraphe précédent, le circuit C est soumis à la force de Laplace exprimée ci-dessus où dM est un élément de longueur de C.
Au cours d'un déplacement dl du circuit C, le travail de la force de Laplace agissant sur l'élément de longueur dM de C s'exprime par

d²W = dF(M). dl = i dM x B(M). dl = i dl x dM . B(M)

Le vecteur dS(M) = dl x dM est le vecteur surface de la surface élémentaire balayée par le dM au cours de son déplacement dl.

En introduisant le vecteur unitaire n(M) colinéaire à dS(M)

dS(M) = n(M)dS,

la quantité précédente s'écrit

d²W = i dS(M). B(M)= i n(M). B(M) dS = i df_c

où df_c est le flux du vecteur B(M) à travers la surface élémentaire dS. Ce flux est le flux coupé par l'élément de longueur dM au cours de son déplacement.

En intégrant la relation sur la totalité de C on obtient le travail total de la force de Laplace dû au déplacement élémentaire dl de l'ensemble du circuit filiforme, soit

Df_c est le flux coupé par le circuit C au cours du déplacement élémentaire dl.

On peut exprimer cette énergie dW sous une autre forme. Notons respectivement S la surface s'appuyant sur le parcours fermé C décrit par le circuit filiforme initialement, S' celle qui s'appuye sur le parcours fermé C' décrit par le circuit après son déplacement dl et appelons DS la surface balayée par C au cours de son déplacement.
La réunion de S, S' et DS forme une surface fermée. L'induction magnétique dérivant d'un potentiel vecteur, son flux à travers une surface fermée est nul (cf. Circulation du potentiel vecteur magnétique). On a donc la relation

où n(M) est le vecteur unitaire normal en M à la surface (S + S' + DS) orienté vers l'extérieur de cette surface. Ces intégrales représentent respectivement les flux du vecteur induction magnétique B(M) à travers les surfaces S, S' et DS. La troisième s'identifie donc à Df_c, le flux coupé au cours du déplacement et il s'en suit que le travail de la force de Laplace dû au déplacement dl du circuit C s'exprime par

dW = i Df_c = i (f' - f) = i Df

avec f et f' respectivement les flux de B(M) à travers la surface délimitée par le circuit C avant et à l'issue du déplacement dl.

Par analogie avec l'électrostatique, i étant l'intensité du courant circulant dans le circuit filiforme C, on peut définir l'énergie magnétostatique du circuit filiforme C dans une position M, comme étant le travail fourni par la force de Laplace lorsque C est déplacé depuis l'infini, où l'induction magnétique est supposée nulle, jusqu'à sa position M, où le flux de l'induction magnétique B(M) à travers C est f(M ).

W(M) = i f(M).

2. 3 Distribution volumique de courants dans un champ magnétique

On considère une distribution volumique de circuits filiformes C, parcourus chacun par un courant élémentaire d'intensité di. Cette distribution occupe un volume V de l'espace dans lequel règne en tout point M, une induction magnétique B(M) indépendante des courants di circulant dans les circuits C.

L'énergie magnétostatique de chacun des circuits C est

dW = di f

où f est le flux de l'induction magnétique B(M) à travers la surface S délimitée par C.
(cf. courant filiforme dans un champ magnétique)

En utilisant les propriétés de la circulation du potentiel vecteur A(M) duquel dérive B(M), le flux f s'écrit

où dS est l'élément de surface entourant le point P de S, n(P) est le vecteur unitaire normale à S au point P et dM le déplacement élémentaire du point M sur le circuit C.

On obtient l'énergie magnétostatique totale de la distribution en sommant dW sur l'ensemble des circuits C, soit

Notons que l'ensemble des sommations représente une intégrale triple étendue au volume V de la distribution et introduisons j(M) le vecteur densité de courant tel que

di dM = j(M). dM dS = j(M) dn

où dS et dn sont respectivement les éléments de surface et de volume entourant le point M et dM est le déplacement élémentaire du point M.

L'énergie magnétostatique de la distribution volumique de circuits filiformes s'exprime alors par

On peut considérer qu'une distribution volumique de courants, caractérisée par son vecteur densité de courants j(M), est équivalente à une distribution de tubes élémentaires de courants, chacun d'eux étant assimilable à un circuit filiforme parcouru par un courant élémentaire di = j(M). dS.
L'expression précédente nous donne donc, de manière générale, l'énergie magnétostatique d'une distribution volumique de courants de densité j(M) placée dans une induction magnétique dérivant du potentiel vecteur A(M).

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