1) POTENTIEL ET CHAMP ELECTRIQUES

1. 1 Potentiel scalaire

Sous l'action d'un champ électrique, un milieu diélectrique homogène et isotrope, supposé sans charges de conduction, acquiert une polarisation P, définie comme étant le moment magnétique par unité de volume:

P = dp/dt

Les dipôles à l'origine de cette polarisation peuvent être induits par le champ ou exister de façon permanente dans le milieu. Le diélectrique est alors assimilable à une distribution volumique de dipôles électriques. Le potentiel créé en M par un moment dipolaire p placé au point Q est

dV(M) = (1/4pe₀r²) u.p

u étant le vecteur unitaire selon QM et r le module de QM . Le potentiel créé en M par un volume V de diélectrique, assimilé à une distribution de dipôles dans le même volume, de polarisation P(Q) est donc

1. 2 Charges de polarisation

Pour une fonction vectorielle A et une fonction scalaire f, on a la relation

div (fA) = f div A + A. grad f

On peut donc écrire en posant

f = 1/r    et      A = P

div_Q[P/r] = (1/r)div_Q[P] + P. grad_Q(1/r)

L'indice ''Q'' signifiant que les dérivées sont prises par rapport aux coordonnées du point Q, où se situe la polarisation P.

On peut donc écrire le potentiel sous la forme

En appliquant le théorème d'Ostrogradski, la deuxième intégrale devient

et l'expression du potentiel

où S est la surface délimitant le volume V de diélectrique, et n le vecteur unitaire selon la normale à la surface S, dirigé vers l'extérieur du matériau.

Il apparaît que le potentiel V(M) dû au diélectrique est identique à celui qui serait créé par la superposition d'une distribution volumique de charges r_p(Q) répartie dans tout son volume, et d'une distribution surfacique s_p(Q) répartie sur sa surface, telles que

r_p(Q) = - div_Q P(Q)                s_p(Q) = P(Q). n

L'étude des potentiel et champ électriques pourra donc se faire soit en considérant le diélectrique comme une distribution volumique de dipôles, soit en l'assimilant à la superposition de ces deux distributions de charges, appelées charges polarisation.
Il faut noter que ces charges sont des charges "équivalentes", traduisant les conditions de champ et de potentiel, ne peuvent être à l'origine d'un courant.

Remarque: Afin d'alléger l'écriture des expressions, dans la suite de l'exposé on remplacera la notation "X(M)" par "X"quand cela ne soulève pas d'ambiguité. On n'oubliera pas cependant que les dérivées sont effectuées par rapport aux coordonnées des points où se trouvent les dipôles électriques ou la polarisation.

1. 3 Induction électrique

De manière générale, le théorème de Gauss s'écrit sous sa forme locale

div E = r /e₀

r étant la densité volumique de charges et E le champ électrique à l'intérieur du matériau. Comme un diélectrique est assimilable à la superposition d'une distribution volumique de densité r_p = - div P et d'une distribution surfacique de charges de polarisation de densité
s_p = P. n (cf. 1.2), dans un milieu diélectrique nous devons écrire:

div E = r /e₀ = (1 /e₀ ) [ r _l + r_p ]

r_l désignant la densité volumique de charges de conduction (charges libres). Cette relation peut encore s'écrire:

div [ e₀E + P ] = r_l /e₀

On définit alors le vecteur induction électrique D par la relation

D = e₀E + P

Le vecteur D est parfois aussi appelé vecteur excitation ou déplacement électrique. Dans le vide, où la polarisation P est nulle

D = e₀E

La forme locale du théorème de Gauss devient, aussi bien dans un milieu diélectrique que dans le vide

div D = r_l

1. 4 Conditions aux limites

Pour établir les conditions aux limites à vérifier par le potentiel, le champ, et l'induction des milieux diélectriques, on se reposera sur les conditions de passage des distributions de charges, puisque nous connaissons les similarités entre les deux (cf. 1.2).

            a) Pour le potentiel scalaire

En raison de l'équivalence des potentiels entre une distribution de dipôles, et donc d'un milieu diélectrique, et la superposition d'une distribution volumique et surfacique de charges, le potentiel scalaire doit être partout continu, en particulier sur la surface de séparation entre deux  milieux. De plus, le potentiel dû à un volume fini de matériau diélectrique doit tendre vers zéro lorsqu'on s'en éloigne infiniment.

            b) Pour le champ et l'induction électriques

Les conditions de continuité du champ à l'interface entre deux distributions volumiques de charges, indicées 1 et 2, séparées par une distribution surfacique de charges s, sont

[ E₂ - E₁ ] x n = 0                [ E₂ - E₁ ] . n = s /e₀

n étant le vecteur unitaire selon la normale à la surface de séparation et dirigé du milieu 1 vers le milieu 2. Nous pouvons à nouveau utiliser l'équivalence avec les charges de polarisation.

Considérons donc deux milieux diélectriques 1 et 2, P₁ et P₂ leurs polarisations, E₁ et E₂ les champs électriques à l'intérieur de chacun d'eux.

La première relation exprime la continuité de la composante tangentielle du champ électrique à l'interface entre les deux milieux et doit restée vérifiée dans notre cas.

La seconde relation doit aussi être vérifiée si on tient compte de l'ensemble des charges, c'est à dire à la fois des charges de conduction et des charges de polarisation sur la surface, de densités respectives s_l et s_p.

[ E₂ - E₁ ] . n = s /e ₀ = (s_l + s_p1 + s _p2 ) /e₀
s_p1 = P₁. n₁₂       s_p2 = P₂. n₂₁              n₁₂ = - n₂₁ = n

[ E₂ - E₁ ] . n = s = s _l + s_p1 + s_p2 = s _l + ( P₁ - P₂ ) . n

soit

[(e₀E₂ + P₂ ) - (e ₀E₁ + P₁ )] . n = s_l
[ D₂ - D₁ ] . n = s_l

Cette relation se généralise la condition de continuité du cas de deux milieux sans polarisation, dans lequel on a

D₁ = e₀E₁              D₂ = e₀E₂
e₀ [ D₂ - D₁ ] . n = s_l          <=>      [ E₂ - E₁ ] . n = s_l /e₀

1. 5 Permittivité et susceptibilité diélectriques

Le vecteur polarisation P n'est pas indépendant du champ E à l'intérieur du milieu. Dans de très nombreux matériaux, dits linéaires et isotropes, l'expérience montre que P est colinéaire et proportionnel à E.

P = c E = e₀c_r E             c = e₀c_r

c et c_r sont respectivement les susceptibilités absolue et relative du milieu.

Les vecteurs induction et polarisation s'écrivent alors

D = e₀E + P = (e₀ + c ) E = e₀ ( 1 + c_r ) E
= e₀e_r E = e E

P = (e - e₀ ) E = e₀ (e _r - 1 ) E

e = e₀e_r             e_r = 1 + c_r

e et e_r sont appelées respectivement les permittivités absolue et relative du milieu.

Suite - Polarisation et champ dépolarisant ==>