1) CHAMP EFFECTIF LOCAL

1. 1 Introduction

Les grandeurs macroscopiques de potentiel, de champ, d'induction ou de polarisation, étudiées jusqu'à présent, sont des grandeurs moyennes. Au niveau microscopique, de l'atome, de la molécule ou de l'électron on ne peut plus assimiler le milieu diélectrique à un continuum. Les interactions entre dipôles font que le champ agissant effectivement au niveau d'un dipôle dépend de l'orientation et de la position de tous les autres. Il faut donc essayer de déterminer ce champ local, appelé champ effectif local, en fonction des grandeurs macroscopiques, seules accessibles à l'expérience.

1. 2 Expression générale

Le milieu diélectrique étant assimilable à une distribution de dipôles électriques ponctuels p_i, le contribution au champ électrique en un point M du diélectrique est similaire à celle due à une telle distribution, qui est donnée de façon générale par

r_i étant le vecteur reliant M au point où est localisé le dipôle p_i, et r_i sont module. Cette expression, valable dans le cadre de l'approximation dipolaire, est justifiée car les distances inter-dipôles, c'est à dire inter-atomiques ou inter-moléculaires, sont grandes devant la longueur des dipôles. Mais son utilisation est, dans la pratique, quasiment impossible en raison du nombre d'éléments à prendre en compte et aussi parce qu'elle nécessite de connaître l'orientation individuelle de chaque dipôle à tout instant.

Pour résoudre ce problème, décomposons fictivement le diélectrique en deux parties:

             - Une sphère S de centre M, le point du diélectrique où on veut calculer le potentiel, et de rayon R suffisamment faible, pour qu'à l'intérieur la polarisation P et le champ électrique macroscopique E puissent être considérés comme constants, mais suffisamment grand pour que contenir un nombre important de dipôles.

             - Le reste de l'échantillon diélectrique, considéré comme un continuum homogène de polarisation P.

Si E₀ est le champ électrique extérieur appliqué à l'échantillon, on peut écrire que le champ local agissant effectivement sur un dipôle est:

E_l = E₀ + E_dip = E₀ + E_sphère + E_reste

en désignant par E_reste le champ dû à la partie du diélectrique extérieure à S et E_sphère le champ dû aux dipôles se trouvant à l'intérieur de la sphère S. Dans l'hypothèse admise par Lorentz, selon laquelle la partie de l'échantillon extérieure à S est un continuum homogène caractérisée par une polarisation uniforme P, la densité volumique de charges de polarisation est nulle ( r_p = - div P- cf. Charges de polarisation ). Le champ E_reste est donc équivalent à celui créé par une distribution superficielle de charges s_p ( s_p = P. n - cf. Charges de polarisation ), répartie sur la surface délimitant le continuum diélectrique. Cette surface est composée de deux parties, s₁ la surface extérieure de l'échantillon, et s₂ limitant la sphère S autour de M, soit

E_reste = E_s1 + E_s2

En remarquant que E_s1 n'est rien d'autre que le champ dépolarisant de l'échantillon, il apparaît que le champ E₀ + E_s1 est le champ macroscopique E à l'intérieur du diélectrique.

E = E₀ + E_s1

Remarque: On pourra se reporter à la rubrique Polarisation et champ dépolarisant pour des exemples de champs dépolarisants.

La densité surfacique de charges de polarisation sur la surface intérieure s₂ du reste (surface de la sphère S ) est:

s = P. n = - P cos q

Le signe négatif vient de l'orientation de la normale, dirigée vers l'extérieur du continuum donc vers le centre O de la sphère S et q est l'angle entre la direction n vecteur unitaire selon la normale et P.

Le champ créé par un élément de surface ds en O est:

Choisissons comme surface élémentaire la couronne d'axe P de rayon (Rsinq) et de largeur dq,

ds = 2pR²sinqdq

Par raison de symétrie le champ E_s2 dû à la densité de charges sur la surface s₂ est selon P. En projetant donc n sur la direction de P, on obtient

L'expression du champ effectif local devient

E_l = E₀ + E_sphère + E_reste = E + (1/ 3e₀ ) P + E_sphère

Il reste à calculer le champ E_sphère créé par les dipôles de la sphère S. Il est donné par l'expression générale de E_dip appliquée à S et est lié à la structure du milieu.

1. 3 Diélectrique isotrope

Soit un repère ( O, x, y, z ). Les dipôles étant tous identiques, en utilisant la notation de Einstein, l'expression générale de E_dip s'écrit

Dans un mileu isotrope, par raison de symétrie du fait de l'agitation thermique, on peut écrire

On en déduit

E_sphère = 0           et          E_l = E₀ + E_sphère + E_reste = E + (1/ 3e₀ ) P

ou, compte tenu de la relation: P = (e - e₀ ) E,

E_l = [(e + 2e₀ ) / 3e₀ ] E

Ce champ effectif local est connu sous le nom de champ de Lorentz.

1. 4 Diélectrique cristallin cubique

Si le diélectrique est cristallin et que son réseau est de symétrie cubique, les relations décrites ci-dessus dans le cas isotrope, sont toujours satisfaites et le champ effectif local garde la même expression

E_l = E₀ + E_sphère + E_reste = E + (1/ 3e₀ ) P = [(e + 2e₀ ) / 3e₀ ] E

1. 5 Diélectrique polaire - Champ d'Onsager

Le calcul précédent ne permet pas de distinguer les milieux polaires de ceux qui ne le sont pas. De plus dans certains cas, par exemple les milieux uniaxes ou biaxes, le calcul précédent n'est pas applicable. Une seconde approche, due à Lorentz, est alors adoptée.

Considérons que le dipôle p soit situé au centre d'une cavité sphérique microscopique S de centre O et de rayon R, ne contenant aucun autre dipôle, entourée d'un milieu diélectrique uniforme, isotrope et continu de permittivité e. Dans cette hypothèse, le champ effectif local E_l agissant sur le dipôle est la superposition du champ règnant dans la sphère en l'absence de dipôle ( cf. Cavité sphérique dans un diélectrique ) et du champ de réaction du dipôle ( cf. Dipôle ponctuel au centre d'une cavité shérique ).

E_l = [ 3e / ( 2e + e₀ )] E + ( 2p / 4pe ₀R³ ) [(e - e₀ ) / ( 2e + e₀ )]

E est le champ électrique macroscopique dans le milieu diélectrique entourant la cavité.

Dans le cas le plus général le moment dipolaire p peut contenir une composante induite p_i et une composante permanente p_p.

p = p_i + p_p

L'expérience montre que dans les matériaux polaires p_i est très petit par rapport à p_p. On peut donc dans un tel matériau remplacer p par p_p. L'expression précédente de E_l montre de plus que le champ de réaction est parallèle au dipôle p et qu'il n'intervient donc pas pour l'orienter. On peut par conséquent, dans un matériau polaire, le négliger et ne conserver que la première composante du champ local:

E_l = [ 3e / ( 2e + e₀ )] E

Cette expression du champ local, applicable dans le cas des diélectriques polaires à polarisation induite négligeable, est connue sous le nom de champ d'Onsager.

Si le milieu ne possède pas de moments permanents, le moment dipolaire p s'identifie à sa composante induite p_i. Pour retrouver une valeur convenable de la polarisation macroscopique P en O, p_i doit être égal au moment dipolaire de la cavité remplie du diélectrique de permittivité e. Par conséquent on doit écrire:

p_i = (4 / 3)pR³ P = (4 / 3)pR³ (e - e₀ ) E

Et le champ local s'écrit:

E_l = [ 3e / ( 2e + e₀ )] E + ( 2p_i / 4pe₀R³ ) [(e - e₀ ) / ( 2e + e₀ )]

E_l = [(e + 2e₀ ) / 3e] E = E + (1/ 3e₀ ) P

On retrouve l'expression du champ local de Lorentz, valable dans les cas des milieux non polaires, établie au paragraphe précédent ( cf. Diélectrique isotrope ou Diélectrique cristallin cubique ).

Suite - Polarisabilité ==>