1) CHAMPS ET POTENTIELS ELECTRIQUES (suite)

1. 6 Distribution surfacique uniforme sur un disque

Considérons une distribution de charges électriques de densité surfacique uniforme s, répartie sur un disque D de centre O et de rayon R. Pour étudier ce système, choisissons un repère cylindrique normé (O, u_r, u_q, k) tel que le vecteur k soit parallèle à l'axe principal du disque.

La charge électrique portée par la couronne élémentaire, comprise entre les cercles centrés en O de rayons r et r + dr, est dq = 2psrdr. Si P est le point d'abcisse x sur l'axe du disque, d'après le paragraphe précédent (Distribution linéique uniforme sur une spire circulaire), le potentiel électrique créé par cette couronne élémentaire en P est donné par la relation

dV(P) = dq / 4pe₀(x² + R² )^1/2 = srdr / 2e₀(x² + r² )^1/2

En P, le potentiel dû au disque est donc

soit en supposant que le potentiel s'annule à l'infini

Le champ électrique créé en un point de l'axe par chacune couronne étant, par raison de symétrie, parallèle à son axe (cf. Distribution linéique uniforme sur une spire circulaire), il en est de même pour le champ E(P) dû au disque. La seule variable dans l'expression du potentiel sur l'axe étant x, il est lié au champ E(P) par la relation

La figure ci-dessus montre la variation du champ (^__) et du potentiel  (^__) électriques sur l'axe de la spire en fonction de x. Au point O (x = 0), centre du disque, on a:

V(O) = sR / 2e₀      et     E(O) = ± s / 2e₀ k

A la traversée du disque, le potentiel est continu mais le champ électrique présente une discontinuité égale à s /e₀ conformément à ce que prévoit le cas général.

1. 7 Distribution surfacique uniforme sur un plan infini

On se propose d'étudier le cas d'une distribution surfacique uniforme de densité s. En remarquant qu'un plan infini n'est rien d'autre qu'un disque de rayon infini, le paragraphe précédent permet d'écrire, en faisant tendre R vers l'infini, qu'en tout point P de l'espace, le champ est constant, égal à

E(P) = ± s / 2e₀ k

k étant le vecteur unitaire normal au plan. Le signe de E(P) dépend uniquement du coté du plan où se trouve le point P. A la traversée du plan le champ subit à nouveau une discontinuité égale à s /e ₀ conformément à ce que prévoit le cas général.

Comme il existe des charges à l'infini, le potentiel ne peut être calculé par la relation établie pour un disque de dimension finie. Il n'est défini en tout point de l'espace qu'à une constante additive près, cette constante pouvant être infinie. On peut toutefois calculer la différence de potentiel entre deux points P₁ et P₂ d'abcisses respectives x₁ et x₂. Comme on a

on peut écrire

V(P₂ ) - V(P₁ ) = (s / 2e₀ ) (x₁ - x₂ )

1. 8 Distribution volumique à symétrie sphérique

Considérons une distribution volumique de charges à symétrie sphérique, c'est à dire telle que sa densité volumique en un point M de l'espace ne dépend que de la distance r = ||OM||, entre M et le centre O de la distribution.

Pour étudier ce système, on choisit un repère sphérique centré en O, (O, u_r, u_q, u_j ). Par raison de symétrie le champ électrique en tout point ne peut être que radial et ne dépend que de r. Au point P, de coordonnées (r, q, j), le champ est donc de la forme

E(r) = E(r) u_r

Si on considère une surface sphérique S, centrée sur O, le théorème de Gauss implique

n étant le vecteur unitaire normal à S, orienté vers l'extérieur et Q la somme algébrique des charges contenues dans le volume limité par S. On a

Le champ électrique est donc

E(r) = (Q / 4pe₀r² ) u_r

Le champ E(r) dérive d'un potentiel scalaire qui ne dépend que de la composante radiale r, soit

Le calcul complet du potentiel dans le cas général ne peut être mené plus loin car la charge Q à prendre en compte peut dépendre de r.

1. 9 Distribution volumique uniforme dans une sphère

Un cas particulier du paragraphe ci-dessus, est celui d'une densité volumique r, uniforme, localisée dans une sphère S, de centre O et de rayon R. Dans un repère sphérique centré en O, (O, u_r, u_q, u_j ), compte tenu des résultats établis au paragraphe précédent, en tout point de l'espace, le champ électrique a pour expression

E(r) = (Q / 4pe₀r² ) u_r

où Q est la somme algébrique des charges incluses dans la surface de Gauss S ( S: sphère de centre O et de rayon r ). Le potentiel électrique est obtenu en intégrant l'expression de E(r).

Deux cas sont à étudier:

               a) r > R

La totalité de la charge électrique répartie dans la sphère S est alors contenue dans la surface de Gauss,

Q = (4/3)rpR³

En fonction de la densité volumique de charges, les expressions du champ et du potentiel sont

E_e(r) = (rR³/ 3e₀r² ) u_r       et        V_e(r) = rR³/ 3e₀r

( Le potentiel V_e(r) est supposé nul à l'infini )

               b) r £ R

La charge électrique contenue dans le volume délimité par la surface de Gauss est

On a donc, à l'intérieur de la sphère, le champ et le potentiel électriques

E_i(r) = (rr / 3e₀ ) u_r       et        V_i(r) = -rr²/ 6e₀ + C

C est une constante.

Le potentiel doit être continu en tout point, en particulier en r = R, ce qui entraine

V_e(R) = rR²/ 3e₀ = V_i(R) = -rR²/ 6e₀ + C
C = rR²/ 2e₀

et finalement

V_i(r) = -rr²/ 6e₀ + C = (r / 6e₀ )[R² - r² ]

1. 10 Distribution surfacique uniforme sur une sphère

Considérons une distribution surfacique uniforme s répartie uniformément sur la surface d'une sphère S de rayon R et de centre O et un repère sphérique (O, u_r, u_q, u_j ).

Comme dans le cas précédent, par raison de symétrie le champ en tout point ne peut être que radial et ne dépend que de r. Au point P, de coordonnées (r, q, j), le champ est donc de la forme

E(r) = E(r) u_r

On peut ici aussi appliquer le théorème de Gauss à une surface sphérique S centrée en O et de rayon r. On a alors, comme dans le cas précédent

où Q est la somme algébrique des charges contenues dans le volume délimité par S et n le vecteur unitaire normal à S orienté vers l'extérieur.

Considérons deux cas:

               a) r < R

Dans ce cas, la charge étant répartie sur la surface de la sphère, la charge totale Q incluse dans le volume délimité par S est nulle. On a donc

E(r) = 0

Sachant qu'en tout point le champ électrique dérive du potentiel scalaire V(r)

on en déduit le potentiel V_i(r) à l'intérieur de la sphère

V_i(r) = C₁ = Cst

               b) r > R

La totalité de la charge Q portée par la sphère est contenue dans le volume délimité par S

Q = 4psR²

Le champ électrique à l'extérieur de la sphère est donc

E(r) = (Q / 4pe₀r² ) u_r = (sR²/e₀r² ) u_r

et le potentiel scalaireV_e(r) à l'extérieur de la sphère

V_e(r) = (sR²/e₀r ) + C₂

C₂ étant une constante. Si on suppose que le potentiel V_e(r) est nul à l'infini, C₂ = 0, et il vient finalement

V_e(r) = sR²/e₀r

Enfin, le potentiel devant être continu en tout point on a

V_i(R) = C₁ = V_e(R) = sR /e₀

Remarque: Au passage de la surface chargée de la sphère (r = R), la composante normale du champ électrique subit une discontinuité égale à (s /e₀ ), conformément à ce qui a été établit dans le cas général.

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