1) CHAMPS ET POTENTIELS ELECTRIQUES

1. 1 Charge électrique ponctuelle isolée

Considérons une charge isolée q, dans le vide, positionnée en O. Pour déterminer le champ électrique dû à la charge en tout point de l'espace, on peut utiliser le théorème de Gauss.

On choisit un système normé de coordonnées sphérique (O, u_r, u_q, u_j ) centré sur O.
Soit E(M), le champ électrique au point M(r, q, j). Par raison de symétrie, E(M) est selon u_r et ne peut dépendre que de la coordonnée radiale r de M:

E(M) = E(r) u_r

On choisit une surface de Gauss sphérique S, centrée sur O. M étant un point de S, le   théorème de Gauss s'écrit

n(M) est la normale unitaire en M, dirigée vers l'extérieur de S. E(M) étant constant sur S, la relation précédente est équivalente à

4pe₀r²E(r) = q

Le champ électrique en M, dû à la charge q placée en O est donc

E(M) = (q / 4pe₀r² ) u_r

Soit V(M) le potentiel scalaire dont dérive E(M):

E(M) = - grad V(M)

(cf. Champ électromagnétique indépendant du temps)

Le champ électrique E(M) ne dépendant que de la composante radiale r, il en est de même pour V(M). L'intégration de la relation précédente donne

V(M) = (q / 4pe₀r) + C

où C est une constante déterminée par les conditions aux limites. Dans le cas d'une charge électrique isolée, hors de toute influence, il semble naturel de supposer que le potentiel s'annule lorsque r tend vers l'infini. Ce qui implique C = 0. D'où, l'expression du potentiel créé au point M par une charge électrique isolée, placée en O

V(M) = (q / 4pe₀r)

1. 2 Distribution discrète de charges électriques

Considérons une distribution discrète de charges ponctuelles q_i, positionnées aux point M_i de l'espace. D'après le théorème de superposition, le champ électrique total E(P) créé en P par la distribution de charges est

où E_i(P) est le champ électrique créé en P par la charge q_i, soit d'après le paragraphe précédent (§ 1.1):

E i(P) = (q_i / 4pe₀r_i² ) u_ri

avec u_ri = M_iPet   r_i = M_iP/ ||M_iP||.

Si on appelle V_i(P) le potentiel scalaire dont dérive E_i(P), et V(P) celui dont dérive le champ total E(P), on a

Connaissant l'expression du potentiel dû à une charge ponctuelle isolée (§ 3.1), on en déduit l'expression du potentiel scalaire V(P) d'une distristribution discrète de charges ponctuelles:

C étant une constante déterminée à partir des conditions aux limites.

1. 3 Distributions continues de charges

Toujours en appliquant le principe de superposition, si la distribution de charges électriques est continue, on peut remplacer la sommation par une intégrale étendue à l'ensemble des charges. Les expressions des potentiels et des champs électriques au point P sont alors données par:

      - pour une distribution linéique de charges répartie sur le parcours L

dM est l'élément de longeur entourant le point M de L, r(M) la densité linéique de charges et C une constante.

      - pour une distribution surfacique de charges répartie sur la surface S

où dS est l'élément de surface entourant le point M de S, s(M) la densité surfacique de charges sur S et C une constante.

      - pour une distribution volumique de charges répartie dans le volume V

où dn est l'élément de volume entourant le point M de V, r(M) la densité volumique de charges à l'intérieur de V et C une constante.

Dans les trois cas la constante C est égale à zéro si le potentiel est nul à l'infini.

1. 4 Distribution linéique uniforme sur un fil rectiligne

Considérons une distribution linéique uniforme de charges électrique, caractérisée par sa densité l, répartie sur un fil rectiligne uniforme infini parallèle au vecteur k.

Le système présente une symétrie de révolution autour de l'axe du fil. Soit un repère cylindrique (O, u_r, u_q, k), le point O étant positionné sur l'axe du fil. Par raison de symétrie le champ est radial:

E(r) = E(r) u_r

Pour déterminer E(r), imaginons une surface cylindrique S de rayon r et de longueur L, centrée sur le fil. La charge contenue dans la surface de Gauss ainsi définie est

Q = lL

D'après le théorème de Gauss on a alors

n étant le vecteur unitaire normal à S, orienté vers l'extérieur de S.

On en tire l'expression du champ électrique créé par le fil

E(r) = (l / 2pe₀r) u_r

Le champ E(r) dérive d'un potentiel scalaire qui ne peut dépendre que de r, soit

d'où

V(r) = (l / 2pe₀ ) Log r + C

où C est une constante, égale à zéro si on suppose que le potentiel s'annule lorsque r tend vers l'infini.

1. 5 Distribution linéique uniforme sur une spire circulaire

Supposons qu'une distribution continue de charges de densité linéique l soit répartie sur une spire de centre O et de rayon R. Le système présentant une symétrie de révolution autour de l'axe de la spire, le champ résultant sur l'axe est porté par ce dernier (figure ci-dessous).

Prenons un repère orthonormé (O, i, j, k) tel que le vecteur i soit selon l'axe de la spire et un point M de la spire. Si P, de coordonnées (x, y, z), est un point sur l'axe de la spire, la charge portée par l'élément de longueur dl de la spire, situé en M, est dq = ldl. Le champ électrique dE_i créé en P par dl est donc d'après ce qui précède (§ 1.1, 1.2, 1.3)

Le point P étant sur l'axe et M sur la spire, ||MP|| = (x² + R² )^1/2 est une constante. En projetant le champ élémentaire dE_i sur l'axe,

i = OP/ ||OP||

puis en intégrant dE sur toute la longueur de la spire, on obtient le champ électrique E(P) au point P:

où a est l'angle entre OP et MP, sin a = R / (x² + R² )^1/2

La seule variable dans l'expression du champ électrique E(P) étant x, E(P) est lié à son potentiel par la relation

d'où

Le changement de variable

u² = (x² + R² )
udu = xdx

permet alors d'établir l'expression du potentiel, ce dernier étant supposé nul à l'infini

La figure ci-dessus montre la variation du champ (^__) et du potentiel (^__) électriques sur l'axe de la spire en fonction de x.

Remarque: On peut bien sûr adopter la démarche inverse, c'est à dire calculer directement le potentiel à partir des expressions générales et en déduire le champ électrique par calcul du gradient.

Suite - Distribution surfacique uniforme sur un disque ==>