2) CHAMP ELECTROMAGNETIQUE INDEPENDANT DU TEMPS

2. 1 Equations de Maxwell dans le vide

Lorsque les champs et les potentiels électriques et magnétiques sont indépendants du temps le champ électromagnétique est dit constant. Il s'agit bien sûr d'un cas particulier, mais fréquent, pour lequel les équation de Maxwell générales s'appliquent. Réécrivons ces relations au point M en tenant compte de l'indépendance temporelle des grandeurs.

Régime dépendant du temps:

div e₀E(M, t) = r(M, t)

div B(M, t) = 0

Régime indépendant du temps:

div e₀E(M) = r(M)
rot E(M) = 0

div B(M) = 0
rot [B(M)/m₀] = j(M)

Rajoutons à ces relations, celle issue de la définition adoptée pour le champ électrique, qui pour un potentiel vecteur A(M, t) indépendant du temps s'écrit

E(M) = - grad V(M)

(cf. Relations fondamentales)

et celles qui définissent l'induction électrique D(M) et le champ magnétique H(M)

D(M) = e₀E (M)
B(M) = m₀H(M)

(cf. Induction électrique et champ magnétique)

2. 2 Théorème de Gauss

Soit V un volume limité par une surface fermée S et E(M) le champ électrique indépendant du temps en tout point M de V. La forme générale du théorème de Gauss s'écrit dans ce cas

Q est la charge contenue dans V, et au point P de S, n(P) est le vecteur unitaire selon la normale à S, orienté vers l'extérieur de V. Cette relation est la forme intégrale de la troisième relation de Maxwell.

2. 3 Equation de Poisson - Equation de Laplace

Le champ électrique E(M) est un champ électrostatique. Il dérive d'un potentiel scalaire selon la relation

E(M) = - grad V(M)

Les relations de Poisson et de Laplace sont donc vérifiées

DV(M) = - r(M) /e₀

où r (M) est la densité volumique de charges au point M, et

DV(M) = 0

où la densité volumique de charges est nulle.

(cf. Relations fondamentales > Equation de Poisson - Equation de Laplace)

2. 4 Théorème d'Ampère et conservation de la charge électrique

Nous avons vu que pour un régime indépendant du temps le théorème d'Ampère est vérifié. P étant un point du parcours fermé L, et dl le déplacement élémentaire de P sur L, il s'exprime par

où i désigne le courant à travers une surface S s'appuyant sur L.

La densité volumique de charges étant indépendante du temps, l'équation de conservation de la charge électrique,

se simplifie en

div j(M) = 0

Le courant j(M) est donc à flux conservatif et il dérive d'un potentiel vecteur. Le courant i est alors indépendant de la surface S choisie, il ne dépend que du parcours L (cf. Analyse vectorielle > Champ de vecteurs dérivant d'un potentiel vecteur).

Par conséquent, en régime permanent, le théorème d'Ampère s'énoncera par:

La circulation du vecteur B(P)/m₀ sur un parcours fermé L est égale à l'intensité du courant traversant L.

2. 5 Conditions de passage à la limite entre deux milieux

Les conditions de passage concernant les composantes normales des inductions et les composantes tangentielles des champs, vérifiées pour un champ variable dans le temps (cf. § 1.8, § 1.9), restent bien sûr valables lorsque ces grandeurs sont constantes. Soit, en un point M sur la surface S séparant l'espace en deux domaines E₁ et E₂ et n(M) étant le vecteur unitaire normal à S au point M.

[D₂(M) - D₁(M)] . n(M) = s(M)            [B₂(M) - B₁(M)] . n(M) = 0

avec D_i(M) = e₀E_i(M) l'induction électrique dans le domaine E_i et s(M) la densité surfacique de charges, sur la limite S entre les deux domaines.

[E₂(M) - E₁(M)] x n(M) = 0        n(M) x [H₂(M) - H₁(M)] = k(M)

avec le champ magnétique H_i(M) dans le domaine E_i défini par B_i(M) = m₀H_i(M) et k(M) la densité surfacique de courants, sur la limite entre les deux milieux.