1)
1) Dans un système d'axes orthonormés, si ds représente le déplacement infinitésimal d'un point M, montrer que l'on peut écrire:
                ds² = d_ij dx_i dx_j d représente le symbole de Konecker
                       d_ij = 0 si i ¹ jd_ij = 1 si i = j
2) Vérifier que:

e_ijs_i1s_i2 =            avec e_ij = 0 si i = j      
                                                                      = 1 si i = 1 et j = 2
                                                                      = -1 si i = 2 et j = 1 e_ij est le tenseur d'antisymétrie

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2)
1) Démontrer que dpq est un tenseur d'ordre 2.
2) Si a_pqr et b_pqr sont des tenseurs, démontrer que leur somme et leur différence sont aussi des tenseurs.
4) Si a_pqr et b_st sont des tenseurs, démontrer que c_pqrst = a_pqrb_ts est aussi un tenseur.
5) Montrer que si a_pqrst est symétrique par rapport aux indices p et q dans un système de coordonnées, il le reste par rapport à ces indices dans un système quelconque de coordonnées. De même s'il est antisymétrique.

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3) Trouver la matrice représentative du tenseur de permittivité en présence d'un axe de symétrie sénaire.

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4) Soit un cristal métallique quadratique de paramètres a = 3,24Å, c = 4,94Å et de conductivité électrique anisotrope [a]. Pour un champ électrique respectivement parrallèle et perpendiculaire à l'axe c, on a une conductivité:
                                            s_^ = 15,8W^-1cm^-1 s_{/ /} = 12,2 W^-1cm^-1

1) Si le champ est dirigé selon [111], quelle sera la direction du courant par rapport aux axes du cristal?
2) Quelle sera son intensité dans la direction [001] pour un champ de 1 millivolt par cm, appliqué dans la direction [111] pour un cristal cylindrique d'axe c et de section 1cm²?
Correction

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5) Le tenseur diélectrique [e] relie l'induction électrique D au champ électrique appliqué E:

D = [e] E          soit D_i = å e_ij E_j            i = 1,2,3; j = 1,2,3

Pour un champ électrique de direction donnée, on mesure l'induction électrique D_E dans la même direction et la constante diélectrique | e | du cristal pour cette direction est telle que D_E = | e | E.

1) Exprimer | e | en fonction des coefficients e_ij du tenseur de permittivité. On caractérisera la direction de mesure par ses cosinus directeurs.
2) Application:

Calculer la permittivité dans la direction [321].
Correction

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6) Déterminer les constantes d'élasticité C_hijk non nulles dans le cas de cristaux possédant:

1) un centre de symétrie
2) un axe C₂ selon Ox₃
3) 3 axes C₂ orthogonaux (Système orthorombique)
4) un axe C₄ selon Ox₃
5) un axe C₃ selon [1 1 1]
En déduire les constantes élastiques non nulles dans le cas d'un système cubique.
Correction (loi de Hooke)

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7) Une barre de longueur l et de section S est taillée dans un solide homogène et isotrope.  Lorsque la barre est soumise à un effort longitudinal F, sa longueur varie de Dl entraînant une variation algébrique relative
                                                              
de chacune de ses dimensions transversales.

1) Donner les expressions du module de Young E et du coefficient de Poisson n en fonction des constantes de rigidité S_ij et des constantes d'élasticité C_ij
2) Exprimer de même les coefficients de Lamé.
3) La barre étant désormais soumise à une pression hydrostatique Dp qui entraîne une variation de volume Dv, quelle est l'expression du coefficient de compressibilité
                                                                
4) Exprimer ce résultat en fonction de E, n, S_ij, C_ij, l, m