4) Un moteur asynchrone triphasé à rotor à cage d'écureuil est alimenté par un réseau triphasé 50 Hz, 220/380 V. Pour le stator et pour le rotor, le couplage des enroulements est fait en étoile. Chaque enroulement du stator a une résistance R_s = 0,285 W.

On réalise un essai à vide: le moteur tourne pratiquement à la vitesse de synchronisme (N=3000 tr/min). La puissance absorbé à vide est P₀ = 3 kW et le courant de ligne est I₀ = 25 A.

1) Calculer le nombre de pôles du stator et le facteur de puissance à vide.
2) On supposera les pertes mécaniques constantes et égale à 1233 W dans la suite du problème. Que peut-on dire des pertes joules au rotor (P_jr )?
3) Calculer les pertes joules stator (P_js ) et les pertes fer stator (P_fs ) lors de cet essai à vide.

On réalise un essai en charge, les résultats sont les suivants:
          - glissement: 7%,
          - puissance absorbée: 24645 W,
          - courant en ligne: 45 A.

4) Calculer le facteur de puissance, la vitesse de rotation du rotor, la fréquence des courants rotoriques lors de cet essai.
5) Faire un bilan de puissance. Calculer P_js et la puissance transmise au rotor P_tr. En déduire P_jr lors de cet essai en charge.
6) Calculer la puissance utile P_u, le rendement du moteur, le couple utile T_u, le couple électromagnétique T.

Le moteur entraîne une machine dont la caractéristique mécanique est une droite d'équation:

T_r = 2/100 N' + 40 (N' en tr/min)

7) Calculer la vitesse du groupe (moteur + machine d'entraînement) sachant que la caractéristique mécanique du moteur est une droite en fonctionnement normal (donc valable pour l'essai en charge effectué précédemment).

1) Nombre de pôles et facteur de puissance à vide

A vide la vitesse de rotation d'un moteur asynchrone est proche de la vitesse de synchronisme. Cette dernière est liée à la fréquence du réseau par la relation:

f = pN

f: fréquence réseau en Hz
p: le nombre de paires de pôles
N: la vitesse de synchronisme en tr/s

On en déduit

p = 1, soit 2 pôles

La puissance active absorbée à vide s'écrit

d'où le facteur de puissance à vide

2) Pertes Joule au rotor à vide

Les pertes Joule au rotor sont proportionnelles à la puissance transmise (P_tr) et au glissement (g),

P_jr = gP_tr

A vide ces deux grandeurs sont très faibles, le pertes Joule au rotor sont donc négligeables à vide.

3) Pertes Joule et pertes fer au stator à vide

A vide la puissance absorbée est

P₀ = P_fs + P_js0 + P_m

Les pertes Joule au stator étant données par

P_js0 = 3R_sI₀² = 534,4 W

on en déduit les pertes fer au stator

P_fs = P₀ - P_js0 - P_m = 1232,6 W

4) Facteur de puissance, vitesse de rotation et fréquence des courants au rotor

La même relation que pour la question 1) nous conduit à

Le glissement est définit par la relation

g = ( N - N' ) / N

où N est la vitesse de synchronisme et N' la vitesse de rotation du rotor. Pour un glissement de 7% on a donc

N' = N ( 1 - g ) = 2790 tr/mn

On montre que les fréquences des courants rotoriques ( f_r) et statoriques (f) sont liées par la relation:

f_r = gf

soit dans notre cas

f_r = gf = 3,5 Hz

5) Bilan de puissance, pertes Joule, puissance transmise en charge

On obtient les pertes Joule au stator par la relation:

P_js = 3R_sI² = 1731,4 W

On en déduit la puissance transmise

P_tr = P - P_js - P_fs = 21681 W

puis les pertes Joule au rotor

P_jr = gP_tr = 1517,7 W

6) Puissance utile, rendement et couples utile et électromagnétique

La puissance utile est dans ce cas

P_u = P - P_js - P_fs - P_jr - P_m = ( 1 - g ) P_tr - P_m = 18930 W

soit un rendement de

h = P_u / P = 0,77

Le couple utile est alors de

T_u = P_u / W' = P_u / 2pN' = 64,79 Nm

et le couple électromagnétique

T = P / W = P / 2pN = 69 Nm

W et W' sont respectivement les vitesses angulaires de rotation de synchronisme et du rotor exprimées en rd/s.

7) Vitesse du groupe moteur

La caractéristique mécanique du moteur étant considérée comme linéaire on peut écrire

T_u = aN' + b

En régime établit on a

T_u = aN' + b = T_r = 2/100 N' + 40

d'où la vitesse de rotation du groupe

N' = ( b - 40 ) / ( 2/100 - a )

D'après l'étude précédente, pour un couple utile de T_u = 64,79 Nm on a une vitesse de rotation de N' = 2790 tr/mn. Le couple électromagnétique T est proportionnel au glissement. Lorsque le rotor tourne à la vitesse de synchronisme ( N = N' = 3000 tr/mn ; g = 0), T est nul. Le couple utile est donc dans ce cas

T_u = - (P_m / 2pN' ) = - 4,22 Nm

A partir de ces deux points ( N' , T_u ) de la droite de fonctionnement du moteur on obtient

a = - 0,329       b = 981,64

Ce qui conduit à une vitesse de rotation de

N' = 2698 tr/mn