1) Potentiels et champs électriques de quelques distributions de charges dans le vide

Charge isolée Q:        

Distribution discontinue de charges Q_i:

Distribution surfacique de charges (densité de surface s):

Distribution volumique de charges (densité volumique r):

2) Equations de Maxwell dans le vide

3) Théorème de Gauss

S est une surface fermée, Q_int est la somme des charges à l'intérieur de cette surface S, et
ds = ds n.

4) Théorème d'Ampere

C est un parcours fermé et i le courant à travers C

5) Conservation de la charge

7) Energie électrostatique

Distribution discontinue de charges Q_i:        

Distribution surfacique de charges (densité de surface s):

Distribution volumique de charges (densité volumique r):

8) Equations de Maxwell dans les matériaux diélectriques

      Dans les diélectriques chaque volume élémentaire a un moment dipolaire. Soit un moment permanent soit un moment induit par le champ appliqué. Ce dipôle élémentaire est  p=qd, où q est la charge du noyau et d la distance entre les deux charges.

Le vecteur de polarisation P est définit comme le moment dipolaire par unité de volume: (P=dp/dV).

En substituant ces expressions dans les équations de Maxwell précédentes on obtient:

Ou en utilisant le vecteur induction électrique: D = e₀E + P.

   ( r_free est la densité volumique de charges libres)

9) Conditions aux limites

( D_e – D_i ) . n = s_free ( s_free est la densité surfacique de charges libres)
( E_e – E_i ) x n = 0                                                                                               

10) Cas des diélectriques linéaires homogènes et isotropes

Dans un diélectrique homogène linéaire et istrope, P et E sont colinéaires

P = e₀C E

X est appelé la susceptibilité diélectrique du matériau, et par suite le vecteur induction diélectrique peut s'écrire:

D = e₀E + P = e₀ (1+ X)E = e₀e_r E = e E

e et e_r sont respectivement la permittivité et la permittivité relative du diélectrique. Dans le cas de diélectriques anisotropes la même relation s'applique mais X et e sont des tenseurs.

11) Matériaux magnétiques

De même que pour les diélectriques, un moment dipolaire magnétique est associé à chaque volume élémentaires de matériau magnétique. Le vecteur aimantation M est alors définit comme étant le moment dipolaire magnétique par unité de volume: (M = dm /dV).

Les potentiel et champ magnétiques peuvent être représentés mathématiquement par deux distributions de courants équivalentes:
                        - une densité surfacique de densité
                                                                                           J_ms = M x n
                        - une densité volumique de densité
                                                                                         

Si le matériau est aussi un diélectrique il a une densité volumique de charges de polarisation. En application de la loi de conservation de la charge, on doit tenir compte du courant d'aimantation dans les équations de Maxwell. J_pol = (dP/dt). En substituant cette expression dans les équations de Maxwell on obtient:

Et en introduisant dans ces équations le vecteur champ magnétique H, B = µ₀ H + M,

12) Conditions aux limites

( B_e – B_i ).n = 0                                                                             
n x ( H_e – H_i ) = J_s   ( J_s est la densité surfacique de courant)

13) Cas des matériaux magnétiques linéaires homogènes et isotropes

Dans un matériau magnétique linéaire homogène et Isotrope M et H sont colinéaires:

M = µ₀X H

X est la susceptibilité magnétique du matériau. Le vecteur induction magnétique peut alors s'écrire:

B = µ₀H + M = µ₀ (1+ X) H = µ₀µ_rH = µ H

m et m_r sont la perméabilité et la perméabilité relative du matériau. Dans le cas d'un matériau anisotrope, les mêmes relations s'appliquent mais X et m sont des tenseurs.

14) Expressions générales des équations de Maxwell

Remarque: En complément, au sujet des équations de Maxwell, on pourra voir les différentes rubriques de cette partie Electromagnétisme ainsi que le chapitre Micro-ondes